Sejam
e
subespaços vetoriais. Use a equação
para calcular
quando
e
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular
.
Informações dadas:
Também nos deram a fórmula que relaciona as dimensões:
Passo 2
Explicando a fórmula (mini-aula): a fórmula acima é uma identidade para subespaços de um espaço vetorial (aqui implicitamente
). O que cada termo significa:
-
é o número de vetores de uma base de . -
é o número de vetores de uma base de . -
é a dimensão do subespaço gerado por todos os vetores de e de (ou seja, ). -
é o número de vetores de uma base do espaço que está simultaneamente em e em .
Estratégia implícita (apenas para entender a fórmula): se eu conseguir
,
e
, então posso isolar
pela fórmula:
Passo 3
Calcular
. Vou verificar se os geradores de
são linearmente independentes.
Sejam
e
. Considere a combinação linear
Escrevendo coordenadas:
Isto dá
e
. Logo apenas a combinação trivial anula, portanto
e
são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes que geram
, temos
Passo 4
Calcular
. Tome
e
. Verifico independência resolvendo
Em coordenadas:
Da primeira e segunda coordenadas vem
e
. Assim apenas a combinação trivial anula, logo
e
são independentes e
Passo 5
Calcular
. O espaço
é gerado pelos vetores
. Como estamos em
, a dimensão máxima possível é
. Basta verificar se podemos encontrar três vetores independentes entre esses quatro; se sim,
.
Vou testar a independência de
. Considere
Em coordenadas:
Das coordenadas obtemos o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo em
dá
. Então
dá
. Logo
é a única solução, ou seja,
são linearmente independentes.
Portanto existem três vetores independentes dentre os geradores, logo
Observação intuitiva: isso também mostra que
(pois tem dimensão máxima 3).
Passo 6
Aplicar a fórmula para obter
. Usando
e os valores encontrados:
Passo 7
Verificação adicional (opcional, mas didática): encontrar um vetor não-nulo que gere a interseção. Um vetor em
tem a forma
(porque
). Um vetor em
tem a forma
(porque
). Igualando:
Das coordenadas segue
e
, logo
. Então
. Assim vetores na interseção têm a forma
Isto mostra que
, que de fato tem dimensão
, confirmando o cálculo anterior.