Sejam U e W subespaços vetoriais. Use a equação
\operatorname{dim}(U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim}(U \cap W)
para calcular \operatorname{dim}(U \cap W) quando U=[(1,1,0),(0,0,1)] e W= [(1,0,1),(0,1,1)].

Passo 1

O que o problema pede: calcular \operatorname{dim}(U\cap W).
Informações dadas:
U=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\},
W=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
Também nos deram a fórmula que relaciona as dimensões:
\operatorname{dim}(U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim}(U \cap W).

Passo 2

Explicando a fórmula (mini-aula): a fórmula acima é uma identidade para subespaços de um espaço vetorial (aqui implicitamente \mathbb{R}^3). O que cada termo significa:
  • \operatorname{dim} U é o número de vetores de uma base de U.
  • \operatorname{dim} W é o número de vetores de uma base de W.
  • \operatorname{dim}(U+W) é a dimensão do subespaço gerado por todos os vetores de U e de W (ou seja, \operatorname{span}(U\cup W)).
  • \operatorname{dim}(U\cap W) é o número de vetores de uma base do espaço que está simultaneamente em U e em W.
Estratégia implícita (apenas para entender a fórmula): se eu conseguir \operatorname{dim} U, \operatorname{dim} W e \operatorname{dim}(U+W), então posso isolar \operatorname{dim}(U\cap W) pela fórmula:
\operatorname{dim}(U\cap W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim}(U+W).

Passo 3

Calcular \operatorname{dim} U. Vou verificar se os geradores de U são linearmente independentes.
Sejam u_1=(1,1,0) e u_2=(0,0,1). Considere a combinação linear
\alpha u_1+\beta u_2=(0,0,0).
Escrevendo coordenadas:
(\alpha,\alpha,\beta)=(0,0,0).
Isto dá \alpha=0 e \beta=0. Logo apenas a combinação trivial anula, portanto u_1 e u_2 são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes que geram U, temos
\operatorname{dim} U=2.

Passo 4

Calcular \operatorname{dim} W. Tome w_1=(1,0,1) e w_2=(0,1,1). Verifico independência resolvendo
\gamma w_1+\delta w_2=(0,0,0).
Em coordenadas:
(\gamma,\delta,\gamma+\delta)=(0,0,0).
Da primeira e segunda coordenadas vem \gamma=0 e \delta=0. Assim apenas a combinação trivial anula, logo w_1 e w_2 são independentes e
\operatorname{dim} W=2.

Passo 5

Calcular \operatorname{dim}(U+W). O espaço U+W é gerado pelos vetores u_1,u_2,w_1,w_2. Como estamos em \mathbb{R}^3, a dimensão máxima possível é 3. Basta verificar se podemos encontrar três vetores independentes entre esses quatro; se sim, \operatorname{dim}(U+W)=3.
Vou testar a independência de u_1,u_2,w_1. Considere
a u_1 + b u_2 + c w_1 = (0,0,0).
Em coordenadas:
a(1,1,0)+b(0,0,1)+c(1,0,1)=(a+c,\;a,\;b+c)=(0,0,0).
Das coordenadas obtemos o sistema
a+c=0,\quad a=0,\quad b+c=0.
Da segunda equação vem a=0. Substituindo em a+c=0 c=0. Então b+c=0 b=0. Logo a=b=c=0 é a única solução, ou seja, u_1,u_2,w_1 são linearmente independentes.
Portanto existem três vetores independentes dentre os geradores, logo
\operatorname{dim}(U+W)=3.
Observação intuitiva: isso também mostra que U+W=\mathbb{R}^3 (pois tem dimensão máxima 3).

Passo 6

Aplicar a fórmula para obter \operatorname{dim}(U\cap W). Usando
\operatorname{dim}(U\cap W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim}(U+W)
e os valores encontrados:
\operatorname{dim}(U\cap W)=2+2-3=1.

Passo 7

Verificação adicional (opcional, mas didática): encontrar um vetor não-nulo que gere a interseção. Um vetor em U tem a forma (a,a,b) (porque a(1,1,0)+b(0,0,1)=(a,a,b)). Um vetor em W tem a forma (c,d,c+d) (porque c(1,0,1)+d(0,1,1)=(c,d,c+d)). Igualando:
(a,a,b)=(c,d,c+d).
Das coordenadas segue a=c e a=d, logo c=d=a. Então b=c+d=2a. Assim vetores na interseção têm a forma
(a,a,2a)=a(1,1,2).
Isto mostra que U\cap W=\operatorname{span}\{(1,1,2)\}, que de fato tem dimensão 1, confirmando o cálculo anterior.

Resposta

\operatorname{dim}(U\cap W)=1

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