Considere o conjunto \mathbb{Z}_{6}=\{0,1,2,3,4,5\} com a adição módulo 6:
a) Mostre que \mathbb{Z}_{6} é um grupo.
b) Esse grupo é cíclico? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que \mathbb{Z}_6 com adição módulo 6 forma um grupo (fechamento, associatividade, identidade e inversos) e, em seguida, verificar se esse grupo é cíclico (isto é, se existe um elemento que gera todo o conjunto).
Passo 2
Verificamos o fechamento e a associatividade. A adição em \mathbb{Z}_6 é dada por
\overline{a} + \overline{b} \;=\;\overline{a+b}
em que a+b é somado em \mathbb{Z} e depois tomado o resto da divisão por 6. Como esse resto está sempre em \{0,1,2,3,4,5\}, o conjunto é fechado. A associatividade herda-se diretamente da adição em \mathbb{Z}, pois