Considere o conjunto \mathbb{Z}_{6}=\{0,1,2,3,4,5\} com a adição módulo 6:
a) Mostre que \mathbb{Z}_{6} é um grupo.
b) Esse grupo é cíclico? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \mathbb{Z}_6 com adição módulo 6 forma um grupo (fechamento, associatividade, identidade e inversos) e, em seguida, verificar se esse grupo é cíclico (isto é, se existe um elemento que gera todo o conjunto).

Passo 2

Verificamos o fechamento e a associatividade. A adição em \mathbb{Z}_6 é dada por
\overline{a} + \overline{b} \;=\;\overline{a+b}
em que a+b é somado em \mathbb{Z} e depois tomado o resto da divisão por 6. Como esse resto está sempre em \{0,1,2,3,4,5\}, o conjunto é fechado. A associatividade herda-se diretamente da adição em \mathbb{Z}, pois
(\overline{a} + \overline{b}) + \overline{c} = \overline{(a+b)+c} = \overline{a+(b+c)} = \overline{a} + (\overline{b} + \overline{c}).

Passo 3

Identificamos o elemento identidade. O elemento \overline{0} satisfaz
\overline{0} + \overline{a} = \overline{a} \quad\text{e}\quad \overline{a} + \overline{0} = \overline{a},
logo \overline{0} é o neutro.

Passo 4

Para cada \overline{a}\in\mathbb{Z}_6, o inverso é \overline{-a} = \overline{6-a}, pois
\overline{a} + \overline{6-a} = \overline{a + (6-a)} = \overline{6} = \overline{0}.

Passo 5

Como temos fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos, concluímos que \mathbb{Z}_6 é um grupo sob adição módulo 6.

Passo 6

Um grupo G é cíclico se existir g\in G tal que
\langle g\rangle = \{\,n\cdot g \mid n\in\mathbb{Z}\} = G.

Passo 7

Observamos que \overline{1} gera todo o grupo, pois as somas repetidas de \overline{1} produzem
\overline{1},\,\overline{2},\,\overline{3},\,\overline{4},\,\overline{5},\,\overline{0},\dots
Logo \langle \overline{1}\rangle = \mathbb{Z}_6, mostrando que o grupo é cíclico.

Resposta

(a) \mathbb{Z}_6 sob adição módulo 6 é um grupo.
(b) Sim, é cíclico, pois \overline{1} gera todo o conjunto.

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