Verifique se o conjunto G=\mathbb{R} \backslash\{0\}, com a operação a * b=a b, é um grupo. Justifique todas as propriedades.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o conjunto G = \mathbb{R}\setminus\{0\}, equipado com a operação binária
a * b = a\,b,
é um grupo. Para isso, precisamos checar as quatro propriedades de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso.

Passo 2

Fechamento: tomemos a,b \in G. Como a\neq0 e b\neq0, o produto a\,b também não pode ser zero (pois se a\,b=0 então a=0 ou b=0, o que não ocorre). Logo,
a*b = a\,b \in \mathbb{R}\setminus\{0\} = G.

Passo 3

Associatividade: a operação em G é simplesmente a multiplicação usual em \mathbb{R}. Sabemos que a multiplicação de números reais é associativa, ou seja, para quaisquer a,b,c\in G,
(a*b)*c = (a\,b)\,c = a\,(b\,c) = a*(b*c).

Passo 4

Elemento neutro: devemos encontrar e\in G tal que, para todo a\in G, e*a = a*e = a. Na multiplicação real, o neutro é 1, pois
1*a = 1\cdot a = a \quad\text{e}\quad a*1 = a\cdot1 = a.
Note que 1\neq0, logo 1\in G.

Passo 5

Inverso: para cada a\in G, precisamos de a^{-1}\in G tal que a*a^{-1} = a^{-1}*a = e. Basta escolher
a^{-1} = \frac{1}{a},
pois a\neq0 implica \tfrac1a\neq0 e
a * \frac{1}{a} = a\cdot\frac{1}{a} = 1 \quad\text{e}\quad \frac{1}{a} * a = 1.

Passo 6

Como as quatro propriedades estão satisfeitas (fechamento, associatividade, existência de neutro e de inverso), concluímos que \bigl(\mathbb{R}\setminus\{0\},*\bigr) é um grupo. Ademais, por a multiplicação ser comutativa, é na verdade um grupo abeliano.

Resposta

O conjunto G=\mathbb{R}\setminus\{0\} com a operação a*b=a\,b é de fato um grupo (abeliano).

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