Verifique se o conjunto
, com a operação
, é um grupo. Justifique todas as propriedades.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o conjunto
, equipado com a operação binária
é um grupo. Para isso, precisamos checar as quatro propriedades de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso.
Passo 2
Fechamento: tomemos
. Como
e
, o produto
também não pode ser zero (pois se
então
ou
, o que não ocorre). Logo,
Passo 3
Associatividade: a operação em
é simplesmente a multiplicação usual em
. Sabemos que a multiplicação de números reais é associativa, ou seja, para quaisquer
,
Passo 4
Elemento neutro: devemos encontrar
tal que, para todo
,
. Na multiplicação real, o neutro é
, pois
Note que
, logo
.
Passo 5
Inverso: para cada
, precisamos de
tal que
. Basta escolher
pois
implica
e
Passo 6
Como as quatro propriedades estão satisfeitas (fechamento, associatividade, existência de neutro e de inverso), concluímos que
é um grupo. Ademais, por a multiplicação ser comutativa, é na verdade um grupo abeliano.
Resposta
O conjunto
com a operação
é de fato um grupo (abeliano).