Seja uma transformação linear sobrejetiva T: \mathbb{R}^{\boldsymbol{n}} \rightarrow \mathbb{R}^{5}, sendo \boldsymbol{n}=3. Qual a dimensão de \operatorname{Im}(T) ?
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^5
e afirma que ela é sobrejetiva. O conteúdo é o Teorema do Posto–Nulidade (ou Teorema da Dimensão da Imagem) e a definição de transformação sobrejetiva.

Passo 2

Uma transformação linear é sobrejetiva se e somente se sua imagem coincide com todo o contradomínio. Logo,
\operatorname{Im}(T) = \mathbb{R}^5.
A dimensão de \mathbb{R}^5 é 5, portanto
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr) = 5.

Resposta

\displaystyle 5

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