No grupo \mathbb{Z}_{10}, determine a ordem de cada elemento a \in \mathbb{Z}_{10}.

Passo 1

O enunciado pede para achar, no grupo \mathbb{Z}_{10} (com operação de adição módulo 10), a ordem de cada elemento a\in\{0,1,2,\dots,9\}. A ordem de um elemento a é o menor inteiro positivo k tal que
k\cdot a\equiv 0\pmod{10}.

Passo 2

Em geral, em \mathbb{Z}_n temos que
\text{ord}(a)\;=\;\frac{n}{\gcd(a,n)}.
Aqui n=10, então basta calcular \gcd(a,10) para cada a e usar \text{ord}(a)=10/\gcd(a,10).

Passo 3

Calculamos \gcd(a,10) e a ordem:
  • Para a=0: \gcd(0,10)=10, logo \text{ord}(0)=10/10=1.
  • Para a=1: \gcd(1,10)=1, logo \text{ord}(1)=10/1=10.
  • Para a=2: \gcd(2,10)=2, logo \text{ord}(2)=10/2=5.
  • Para a=3: \gcd(3,10)=1, logo \text{ord}(3)=10/1=10.
  • Para a=4: \gcd(4,10)=2, logo \text{ord}(4)=10/2=5.
  • Para a=5: \gcd(5,10)=5, logo \text{ord}(5)=10/5=2.
  • Para a=6: \gcd(6,10)=2, logo \text{ord}(6)=10/2=5.
  • Para a=7: \gcd(7,10)=1, logo \text{ord}(7)=10/1=10.
  • Para a=8: \gcd(8,10)=2, logo \text{ord}(8)=10/2=5.
  • Para a=9: \gcd(9,10)=1, logo \text{ord}(9)=10/1=10.

Resposta

\text{ord}(0)=1
\text{ord}(1)=10
\text{ord}(2)=5
\text{ord}(3)=10
\text{ord}(4)=5
\text{ord}(5)=2
\text{ord}(6)=5
\text{ord}(7)=10
\text{ord}(8)=5
\text{ord}(9)=10

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