Determine se H=\{0,3,6,9\} \subset \mathbb{Z}_{12} é um subgrupo com a adição módulo 12. Justifique pelo critério de subgrupo.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se
H = \{0,3,6,9\}
é um subgrupo de \mathbb{Z}_{12} sob adição módulo 12.
O critério de subgrupo que vamos usar é: “um subconjunto H de um grupo abeliano G é subgrupo se é não\mbox{-}vazio e fechado sob diferença”, isto é, se existe 0\in H e sempre que a,b\in H vale a-b\in H.

Passo 2

Verificamos que H não é vazio e contém a identidade do grupo aditivo, pois
0 \in H
e 0 é o elemento neutro em \mathbb{Z}_{12}.

Passo 3

Mostramos o fechamento sob diferença. Se a,b\in H então existem inteiros i,j\in\{0,1,2,3\} tais que
a = 3i,\quad b = 3j.
Logo,
a - b = 3i - 3j = 3(i-j).
Como i-j é um inteiro, a-b é múltiplo de 3. Em \mathbb{Z}_{12} todo múltiplo de 3 é congruente a um dos elementos 0,3,6,9, isto é,
a - b \equiv 3k \pmod{12}
para algum k\in\{0,1,2,3\}, de modo que a-b\in H.

Passo 4

Pelo critério de subgrupo (não\mbox{-}vazio e fechado sob diferença), concluímos que H é subgrupo de \mathbb{Z}_{12}.

Resposta

Sim, H=\{0,3,6,9\} é um subgrupo de \mathbb{Z}_{12} sob adição módulo 12.

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