Determine se
é um subgrupo com a adição módulo 12. Justifique pelo critério de subgrupo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se
é um subgrupo de
sob adição módulo
.
O critério de subgrupo que vamos usar é: “um subconjunto de um grupo abeliano
é subgrupo se é não\mbox{-}vazio e fechado sob diferença”, isto é, se existe
e sempre que
vale
.
O critério de subgrupo que vamos usar é: “um subconjunto
Passo 2
Verificamos que
não é vazio e contém a identidade do grupo aditivo, pois
e
é o elemento neutro em
.
Passo 3
Mostramos o fechamento sob diferença. Se
então existem inteiros
tais que
Logo,
Como
é um inteiro,
é múltiplo de
. Em
todo múltiplo de
é congruente a um dos elementos
, isto é,
para algum
, de modo que
.
Passo 4
Pelo critério de subgrupo (não\mbox{-}vazio e fechado sob diferença), concluímos que
é subgrupo de
.
Resposta
Sim,
é um subgrupo de
sob adição módulo
.