Verifique que os conjuntos abaixo são LD. Em seguida, conclua que pelo menos um dos elementos do conjunto é combinação linear dos demais.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de vetores
em
. O conteúdo da matéria é dependência linear de vetores: vamos mostrar que existe uma combinação não trivial
logo
é linearmente dependente, e daí expressar um dos vetores como combinação dos outros dois.
Passo 2
Para encontrar coeficientes
não todos nulos que satisfaçam
montamos o sistema de equações em cada coordenada:
Passo 3
Para resolver, da primeira equação isolamos
Substituindo na segunda:
Então
c1 = c2 -2c3 = -c3 . A terceira equação em função de
c3 dá a mesma condição
c2=c3 , confirmando consistência. Logo a solução geral é
portanto existe solução não trivial (basta escolher
tneq0 ), e
S é linearmente dependente.
Passo 4
Tomando
t=1 obtemos
Isso mostra explicitamente que um dos vetores (no caso
v1 ) é combinação linear dos demais.