Verifique que os conjuntos abaixo são LD. Em seguida, conclua que pelo menos um dos elementos do conjunto é combinação linear dos demais.
S=(2,5,-1),(-2,7,-4),(4,-2,3)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de vetores
S = v1=(2,5,-1),;v2=(-2,7,-4),;v3=(4,-2,3)
em R^3. O conteúdo da matéria é dependência linear de vetores: vamos mostrar que existe uma combinação não trivial
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0,
logo S é linearmente dependente, e daí expressar um dos vetores como combinação dos outros dois.

Passo 2

Para encontrar coeficientes c1,c2,c3 não todos nulos que satisfaçam
c1(2,5,-1) + c2(-2,7,-4) + c3(4,-2,3) = (0,0,0),
montamos o sistema de equações em cada coordenada:
2c1 - 2c2 + 4c3 = 0, 5c1 + 7c2 - 2c3 = 0, -,c1 - 4c2 + 3c3 = 0

Passo 3

Para resolver, da primeira equação isolamos
c1 = c2 - 2c3
Substituindo na segunda:
5(c2 - 2c3) +7c2 -2c3 = 0 ;Longrightarrow; 12c2 -12c3 = 0 ;Longrightarrow; c2 = c3
Então c1 = c2 -2c3 = -c3. A terceira equação em função de c3 dá a mesma condição c2=c3, confirmando consistência. Logo a solução geral é
(c1,c2,c3)=(-t,;t,;t), tinR,
portanto existe solução não trivial (basta escolher tneq0), e S é linearmente dependente.

Passo 4

Tomando t=1 obtemos
-,v1 + v2 + v3 = 0 ;Longrightarrow; v1 = v2 + v3
Isso mostra explicitamente que um dos vetores (no caso v1) é combinação linear dos demais.

Resposta

(2,5,-1) = (-2,7,-4) + (4,-2,3)

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