Considere o conjunto .
Mostre que:
A adição usual de matrizes não está bem definida em .
Passo 1
O enunciado define
Queremos mostrar que a operação de soma usual de matrizes não é bem definida em T, ou seja, que existe pelo menos um par A,Bin T cuja soma A+B não pertence a T.
Passo 2
Para que a adição usual fosse bem definida em T, toda vez que A e B estivessem em T, deveríamos ter A+Bin T. Em particular, se
A = a11 & a12 a21 & a22 e B = b11 & b12 b21 & b22
satisfazem a11neq 0 e b11neq 0, então a primeira entrada de A+B é
(A+B)11 = a11 + b11
Para permanecer em T, precisaríamos de a11+b11neq 0.
Passo 3
Basta agora encontrar um contraexemplo concreto. Tome, por exemplo,
A = 1 & 0 0 & 0 e B = -1 & 0 0 & 0
Aqui Ain T (porque 1neq 0) e Bin T (porque -1neq 0). Mas
A+B = 1+(-1) & 0+0 0+0 & 0+0 = 0 & 0 0 & 0,
e nessa soma o elemento (1,1) é 0, violando a condição xneq 0. Logo A+Bnotin T.
Resposta
A adição usual de matrizes não está bem definida em T porque T não é fechado sob soma.