Considere o conjunto E=[llx & 0 0 & 0]2 times 2 / x+2 <= 7 e x é um quadrado perfeito .
Mostre que E não é fechado para a adição.

Passo 1

O enunciado define
E=lAx=x&00&0m|x+2<=7 e x é quadrado perfeitoré
e nos pede para verificar se E é fechado sob adição. Lembrando que “fechado sob adição” significa: para quaisquer A,Bin E, devemos ter A+Bin E.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos quais valores de x satisfazem as condições:
  1. x+2<=7implies x<=5.
  2. x é quadrado perfeito.
    Os quadrados perfeitos não negativos até 5 são
0,;1,;4
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E=0&00&0,;1&00&0,;4&00&0

Passo 3

Escolhemos por exemplo
A=1&00&0in E, B=4&00&0in E
Então
A+B=1+4&00&0 =5&00&0
Para que 5&00&0 estivesse em E, seria preciso que 5+2<=7 (o que vale) e que 5 fosse quadrado perfeito. Mas 5 não é quadrado perfeito. Portanto
A+Bnotin E

Passo 4

Como encontramos A,Bin E tais que A+Bnotin E, concluímos que E não é fechado para a adição.

Resposta

E não é fechado sob adição, pois
1&00&0 + 4&00&0 = 5&00&0 notin E

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