Considere o conjunto V=(x1, x2) mid x1, x2 in R. Mostre que (V,+, cdot) não é um espaço vetorial sobre R em relação a cada uma das seguintes operações:
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2) e
lambda(x1, x2)=(lambda x1, x2)

Passo 1

O enunciado define em V=(x1,x2)mid x1,x2inR a soma usual
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,,x2+y2)
e a multiplicação por escalar
lambda,(x1,x2)=(lambda x1,,x2)
Para que (V,+,cdot) seja espaço vetorial sobre R, todas as leis usuais (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso aditivo, distributividades, etc.) devem valer. Vamos mostrar que ao menos uma dessas leis falha.

Passo 2

Verificamos a distributividade da soma de escalares sobre um vetor, isto é, o axioma
(lambda+mu),(x1,x2) ;=;lambda,(x1,x2);+;mu,(x1,x2)
À esquerda temos
(lambda+mu),(x1,x2) = l((lambda+mu)x1,,x2r),
enquanto à direita
lambda,(x1,x2) + mu,(x1,x2) = (lambda x1,,x2) + (mu x1,,x2) = l(lambda x1+mu x1,,x2+x2r) = l((lambda+mu)x1,,2x2r)
Como l((lambda+mu)x1,,x2r)neq l((lambda+mu)x1,,2x2r) sempre que x2neq0, a lei distributiva falha.

Resposta

(V,+,cdot) não é espaço vetorial sobre R porque a distributividade da soma de escalares sobre o vetor não se verifica.

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