Considere o conjunto
. Mostre que
não é um espaço vetorial sobre
em relação a cada uma das seguintes operações:
e
Passo 1
O enunciado define em
a soma usual
e a multiplicação por escalar
Para que
seja espaço vetorial sobre
, todas as leis usuais (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso aditivo, distributividades, etc.) devem valer. Vamos mostrar que ao menos uma dessas leis falha.
Passo 2
Verificamos a distributividade da soma de escalares sobre um vetor, isto é, o axioma
À esquerda temos
enquanto à direita
Como
sempre que
, a lei distributiva falha.