Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique.
(b) T: R^2 R tal que T(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2toR, T(x,y)=x,y
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição: T é linear se, e somente se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e qualquer escalar cinR, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(c,u)=c,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Testando aditividade de forma geral, sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
T(u+v)=T(x1+x2,,y1+y2) =(x1+x2)(y1+y2) =x1y1+x1y2+x2y1+x2y2,
enquanto
T(u)+T(v)=x1y1+x2y2
Em geral os termos x1y2+x2y1 não desaparecem, ou seja,
T(u+v)neq T(u)+T(v)

Passo 3

Para ver isso num exemplo concreto, tome u=(1,0) e v=(0,1). Então
T(u+v)=T(1,1)=1cdot1=1,
mas
T(1,0)+T(0,1)=1cdot0+0cdot1=0,
logo T(u+v)neq T(u)+T(v), mostrando que falha a aditividade.

Passo 4

Como T não satisfaz a condição de aditividade, já basta para concluir que T não é linear (não é necessário testar homogeneidade).

Resposta

T não é transformação linear.

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