Decida quais dos seguintes conjuntos geram R^3 :
a) (1,3,3),(4,6,4),(-2,0,2),(3,3,1)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = (1,3,3),,(4,6,4),,(-2,0,2),,(3,3,1)
em R^3 e pede para decidir se S gera R^3. Para isso, vamos usar o conceito de posto (rank) de uma matriz cujas colunas são esses vetores: S gera R^3 se, e somente se, o posto for 3.

Passo 2

Formamos a matriz 3times4 cujas colunas são os vetores de S:
M = 1 & 4 & -2 & 3 3 & 6 & 0 & 3 3 & 4 & 2 & 1

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para encontrar o posto de M. Usamos a primeira linha como pivô e eliminamos abaixo:
R2 R2 - 3,R1, R3 R3 - 3,R1 ;Longrightarrow; 1 & 4 & -2 & 3 0 & -6 & 6 & -6 0 & -8 & 8 & -8
Em seguida, eliminamos o -8 na terceira linha usando a segunda:
R3 R3 - tfrac43,R2 ;Longrightarrow; 1 & 4 & -2 & 3 0 & -6 & 6 & -6 0 & 0 & 0 & 0
Há pivôs em duas colunas, logo o posto de M é 2.

Passo 4

Como posto(M)=2<3, a dimensão do espaço gerado por S é 2, ou seja, não atinge toda a R^3.

Resposta

O conjunto não gera R^3.

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