Decida quais dos seguintes conjuntos geram R^4 :
a) (1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,1,-1)

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto de vetores em R^4
v1=(1,1,0,0),;v2=(0,0,1,1),;v3=(1,0,0,1),;v4=(0,1,1,0),;v5=(0,1,1,-1)
e pede para decidir se eles geram R^4. Para isso, vamos usar o conceito de posto de um conjunto de vetores: eles geram R^4 se, ao colocá-los como linhas (ou colunas) de uma matriz, o posto for igual a 4 (a dimensão de R^4).

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são v1,dots,v5 e aplicamos eliminação de Gauss para encontrar o posto.
1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & -1 ;xrightarrowGauss; 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 0
Na forma escalonada final vemos quatro linhas não nulas, ou seja, quatro pivôs.

Passo 3

O posto da matriz é 4, que é exatamente a dimensão de R^4. Logo, qualquer vetor de R^4 pode ser escrito como combinação linear de v1,dots,v5.

Resposta

O conjunto dado gera R^4.

Exercícios relacionados