Determine os valores de "a"e "b"para que a função
f(x)= x+2 a, & se x<-2, 3 a x+b, & se -2 <= x <= 1, 3 x-2 b, & se x>1,
seja contínua.

Passo 1

A questão dá uma função por partes
f(x)= x+2a,&se x<-2,3ax+b,&se -2<= x<=1,3x-2b,&se x>1,
e pede para ela ser contínua. O conteúdo aqui é continuidade de função definida por partes, então a gente vai igualar os limites laterais nos pontos de troca de ramo (em x=-2 e x=1).

Passo 2

Para garantir continuidade em x=-2, igualamos o limite à esquerda f(-2^-) e o valor no intervalo do meio f(-2):
  • Limite à esquerda: f(-2^-)=(-2)+2a=-2+2a
  • Valor pelo segundo ramo: f(-2)=3a(-2)+b=-6a+b
    Igualando temos -2+2a=-6a+b, o que dá
b=-2+2a+6a=-2+8a

Passo 3

Para garantir continuidade em x=1, igualamos o valor pelo segundo ramo f(1^-) e o limite à direita f(1^+):
  • Valor pelo segundo ramo: f(1)=3acdot1+b=3a+b
  • Limite à direita: f(1^+)=3(1)-2b=3-2b
    Igualando temos 3a+b=3-2b, isto é
3a+3b=3Longrightarrow a+b=1Longrightarrow b=1-a

Passo 4

Agora resolvemos o sistema formado por b=-2+8a e b=1-a. Igualando as expressões de b:
-2+8a=1-a
9a=3Longrightarrow a=tfrac13
Substituindo em b=1-a obtemos
b=1-tfrac13=tfrac23

Resposta

a=\tfrac{1}{3}\quad e\quad b=\tfrac{2}{3}

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