Considere um conjunto de
artigos, dos quais
são de um modelo antigo. Quantos ordenamentos lineares são possíveis, se duas modelos antigos não devem estar dispostos consecutivamente?
Passo 1
O enunciado pede o número de ordenamentos lineares de
artigos, dos quais
são “antigos”, de modo que nenhum par de artigos antigos fique em posições consecutivas. O conteúdo usado será contagem de permutações com restrição de não-consecutividade, via “método dos vãos” ou “stars and bars”.
Passo 2
Primeiro, organizamos os
artigos novos livremente entre si. Como todos os artigos são distintos, há
maneiras de permutar somente os novos. Depois de colocá-los, reconhecemos que existem exatamente
vãos onde podemos inserir artigos antigos (antes do primeiro novo, entre dois novos quaisquer, e após o último).
Passo 3
Para garantir que nenhum par de
artigos antigos fique junto, precisamos escolher
desses
vãos, colocando em cada vão escolhido exatamente um artigo antigo. O número de maneiras de escolher quais vãos usar é
Passo 4
Feita a escolha dos
vãos, ainda temos de ordenar os
artigos antigos entre si. Como são todos distintos, há
maneiras de permutar esses artigos dentro dos vãos selecionados.
maneiras de permutar esses artigos dentro dos vãos selecionados.
Passo 5
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos o número de formas de permutar os novos, o número de escolhas de vãos e o número de permutações dos antigos. Assim o total é