Exercício 12. Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto S, finito, que gere o subespaço vetorial W do espaço vetorial (V,+, cdot) indicado.
Sejam A=(lll0 & 1 & 0 2 & 1 & 0 1 & 1 & 4), W=X in V ; A X=0 e V=M3 times 1(R), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para achar um subconjunto finito Ssubset V que gere o subespaço
W = ,Xin V : A X = 0,
onde
A = 0 & 1 & 0 2 & 1 & 0 1 & 1 & 4 , V = M3times1(R)
Em outras palavras, precisamos encontrar a solução do sistema homogêneo A X=0 e então escolher um conjunto gerador finito de W.

Passo 2

Escrevemos X=(x,y,z)^T e montamos o sistema linear A X=0. Isso dá as equações:
0cdot x + 1cdot y + 0cdot z = 0, 2cdot x + 1cdot y + 0cdot z = 0, 1cdot x + 1cdot y + 4cdot z = 0

Passo 3

Da primeira equação segue
y = 0

Passo 4

Substituindo y=0 na segunda equação obtemos
2x + 0 = 0 Longrightarrow x = 0

Passo 5

Com x=0 e y=0, a terceira equação fica
0 + 0 + 4z = 0 Longrightarrow z = 0

Passo 6

Portanto a única solução é
X = (x,y,z)^T = (0,0,0)^T
Isto mostra que
W = ,0,
ou seja, o subespaço é trivial.

Resposta

Um conjunto finito que gera W é
S = l,(0,0,0)^Tr,
pois span(S)=0=W.

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