Considere o conjunto dos números reais não negativos e uma operação nesse conjunto dada por
Verifique que tal operação é associativa. O conjunto munido dessa operação é um grupo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma operação definida entre números reais não negativos, que é
. A gente precisa verificar duas coisas:
- Se essa operação é associativa.
- Se, com essa operação, o conjunto forma um grupo.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma operação associativa e quais são os requisitos para que um conjunto com uma operação forme um grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a operação
é associativa. Isso significa que, para quaisquer três números reais não negativos
, a seguinte igualdade deve valer:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro. Usando a definição da operação:
Então:
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
E:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Novamente, usando a definição da operação:
Então:
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
E:
Portanto:
Passo 5
Comparando os dois resultados:
Vemos que eles são iguais. Portanto, a operação
é associativa.
Passo 6
Agora vamos verificar se o conjunto dos números reais não negativos, com essa operação, forma um grupo. Para isso, precisamos verificar quatro propriedades:
- Fechamento: A operação
deve resultar em um número real não negativo. - Associatividade: Já verificamos que é associativa.
- Elemento identidade: Deve existir um elemento
tal que para todo . - Inversos: Para cada
, deve existir um tal que .
Vamos analisar cada uma delas.
Passo 7
1. Fechamento: Vamos verificar se
é sempre um número real não negativo quando
e
são não negativos.
Como
e
, tanto o numerador
quanto o denominador
são positivos. Portanto,
também é positivo. Então, a operação é fechada.
Passo 8
2. Associatividade: Já vimos que a operação é associativa.
3. Elemento identidade: Procuramos um número
tal que:
Usando a definição da operação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Se
, então
implica que
. Para que isso seja válido para todo
, a única solução é
.
Vamos verificar se funciona:
Então,
é o elemento identidade.
Passo 9
4. Inversos: Precisamos encontrar, para cada
, um
tal que:
Usando a definição da operação:
Isso implica que:
Como estamos trabalhando com números reais não negativos, a única solução possível é
. Portanto, somente o elemento
tem um inverso dentro do conjunto.
Resposta
A operação
é associativa, mas o conjunto dos números reais não negativos com essa operação não forma um grupo.