Considere o conjunto dos números reais não negativos e uma operação nesse conjunto dada por
x otimes y=x+y1+x y
Verifique que tal operação é associativa. O conjunto munido dessa operação é um grupo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma operação definida entre números reais não negativos, que é x otimes y = x + y1 + xy . A gente precisa verificar duas coisas:
  1. Se essa operação é associativa.
  2. Se, com essa operação, o conjunto forma um grupo.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma operação associativa e quais são os requisitos para que um conjunto com uma operação forme um grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a operação otimes é associativa. Isso significa que, para quaisquer três números reais não negativos x, y, z , a seguinte igualdade deve valer:
(x otimes y) otimes z = x otimes (y otimes z)
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.

Passo 3

Vamos calcular (x otimes y) otimes z primeiro. Usando a definição da operação:
x otimes y = x + y1 + xy
Então:
(x otimes y) otimes z = x + y1 + xy + z1 + (x + y1 + xy) z
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
x + y1 + xy + z = x + y + z(1 + xy)1 + xy = x + y + z + xyz1 + xy
E:
1 + (x + y1 + xy) z = 1 + xy + z(x + y)1 + xy
Portanto:
(x otimes y) otimes z = x + y + z + xyz1 + xy + xz + yz

Passo 4

Agora, vamos calcular x otimes (y otimes z) . Novamente, usando a definição da operação:
y otimes z = y + z1 + yz
Então:
x otimes (y otimes z) = x + y + z1 + yz1 + x(y + z1 + yz)
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
x + y + z1 + yz = x(1 + yz) + y + z1 + yz = x + xyz + y + z1 + yz
E:
1 + x(y + z1 + yz) = 1 + yz + x(y + z)1 + yz
Portanto:
x otimes (y otimes z) = x + y + z + xyz1 + xy + xz + yz

Passo 5

Comparando os dois resultados:
(x otimes y) otimes z = x + y + z + xyz1 + xy + xz + yz
x otimes (y otimes z) = x + y + z + xyz1 + xy + xz + yz
Vemos que eles são iguais. Portanto, a operação otimes é associativa.

Passo 6

Agora vamos verificar se o conjunto dos números reais não negativos, com essa operação, forma um grupo. Para isso, precisamos verificar quatro propriedades:
  1. Fechamento: A operação otimes deve resultar em um número real não negativo.
  2. Associatividade: Já verificamos que é associativa.
  3. Elemento identidade: Deve existir um elemento e tal que x otimes e = x para todo x .
  4. Inversos: Para cada x , deve existir um y tal que x otimes y = e .
Vamos analisar cada uma delas.

Passo 7

1. Fechamento: Vamos verificar se x otimes y é sempre um número real não negativo quando x e y são não negativos.
x otimes y = x + y1 + xy
Como x >= 0 e y >= 0 , tanto o numerador x + y quanto o denominador 1 + xy são positivos. Portanto, x otimes y também é positivo. Então, a operação é fechada.

Passo 8

2. Associatividade: Já vimos que a operação é associativa.
3. Elemento identidade: Procuramos um número e tal que:
x otimes e = x
Usando a definição da operação:
x + e1 + xe = x
Multiplicando ambos os lados por 1 + xe :
x + e = x(1 + xe) implies x + e = x + x^2 e
Subtraindo x de ambos os lados:
e = x^2 e
Se x neq 0 , então e = x^2 e implica que e(1 - x^2) = 0 . Para que isso seja válido para todo x , a única solução é e = 0 .
Vamos verificar se funciona:
x otimes 0 = x + 01 + x cdot 0 = x1 = x
Então, e = 0 é o elemento identidade.

Passo 9

4. Inversos: Precisamos encontrar, para cada x , um y tal que:
x otimes y = 0
Usando a definição da operação:
x + y1 + xy = 0
Isso implica que:
x + y = 0
Como estamos trabalhando com números reais não negativos, a única solução possível é x = y = 0 . Portanto, somente o elemento 0 tem um inverso dentro do conjunto.

Resposta

A operação otimes é associativa, mas o conjunto dos números reais não negativos com essa operação não forma um grupo.

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