Verifique se
é grupo, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
, equipado com a operação
forma um grupo. Para isso precisamos checar os quatro axiomas:
- Fechamento
- Associatividade
- Existência de elemento identidade
- Existência de inversos
Passo 2
Fechamento: dados
, temos
Como a soma de reais é real e a subtração de
também produz um real, conclui-se que
. Logo, a operação é fechada em
.
Passo 3
Associatividade: queremos ver se
para todo
. Calculemos:
Como os dois resultados coincidem, a operação é associativa.
Passo 4
Elemento identidade
: deve satisfazer
e
.
De segue
. De
obtém-se também
.
Portanto, é o elemento neutro: para todo
,
De
Portanto,
Passo 5
Inverso de um elemento
: seja
tal que
.
Da equação
Da equação
vem
Verificamos também
, confirmando que é inverso à esquerda e à direita.
Resposta
Sim,
é um grupo (abeliano), cujo elemento neutro é
e o inverso de
é
.