Verifique se (R, *) é grupo, sendo x * y=x+y-1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto R, equipado com a operação
x*y = x + y - 1,
forma um grupo. Para isso precisamos checar os quatro axiomas:
  1. Fechamento
  2. Associatividade
  3. Existência de elemento identidade
  4. Existência de inversos

Passo 2

Fechamento: dados x,yinR, temos
x*y = x + y - 1
Como a soma de reais é real e a subtração de 1 também produz um real, conclui-se que x*yinR. Logo, a operação é fechada em R.

Passo 3

Associatividade: queremos ver se (x*y)*z = x*(y*z) para todo x,y,zinR. Calculemos:
(x*y)*z = (x + y - 1) + z - 1 = x + y + z - 2,
x*(y*z) = x + (y + z - 1) - 1 = x + y + z - 2
Como os dois resultados coincidem, a operação é associativa.

Passo 4

Elemento identidade e: deve satisfazer x*e = x e e*x = x.
De x*e = x+e-1 = x segue e=1. De e*x = e + x -1 = x obtém-se também e=1.
Portanto, 1 é o elemento neutro: para todo x,
x * 1 = 1 * x = x

Passo 5

Inverso de um elemento x: seja x^-1 tal que x * x^-1 = 1.
Da equação
x + x^-1 - 1 = 1
vem
x^-1 = 2 - x
Verificamos também x^-1 * x = (2 - x) + x - 1 = 1, confirmando que é inverso à esquerda e à direita.

Resposta

Sim, (R,*) é um grupo (abeliano), cujo elemento neutro é 1 e o inverso de x é 2 - x.

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