Construa a tabela da operação em (Z5^*, cdot). Determine os inversos de cada elemento.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos a tabela da operação de multiplicação em Z5^* e depois determinar o inverso de cada elemento. O conteúdo aqui é o grupo multiplicativo das unidades em Z5, ou seja, o conjunto
Z5^*=[1],[2],[3],[4]
com a operação
[a]cdot[b]=[,acdot b!bmod5,]

Passo 2

Identificamos os elementos da base da tabela como [1], [2], [3], [4]. Para cada par ([a],[b]) calculamos acdot b e reduzimos módulo 5, resultando em um elemento de 1,2,3,4.

Passo 3

Preenchendo a tabela linha a linha e coluna a coluna, obtemos:
c|cccc cdot & [1] & [2] & [3] & [4] hline [1] & [1] & [2] & [3] & [4] [2] & [2] & [4] & [1] & [3] [3] & [3] & [1] & [4] & [2] [4] & [4] & [3] & [2] & [1]

Passo 4

Para achar o inverso de cada [a], basta ver em sua linha (ou coluna) qual elemento multiplica por [a] e dá [1]:
  • Na linha de [1], [1]cdot[1]=[1], logo [1]^-1=[1].
  • Na linha de [2], [2]cdot[3]=[1], logo [2]^-1=[3].
  • Na linha de [3], [3]cdot[2]=[1], logo [3]^-1=[2].
  • Na linha de [4], [4]cdot[4]=[1], logo [4]^-1=[4].

Resposta

Tabela de multiplicação em Z5^*:
c|cccc cdot & [1] & [2] & [3] & [4] hline [1] & [1] & [2] & [3] & [4] [2] & [2] & [4] & [1] & [3] [3] & [3] & [1] & [4] & [2] [4] & [4] & [3] & [2] & [1]
Inversos:
[1]^-1=[1], [2]^-1=[3], [3]^-1=[2], [4]^-1=[4]

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