Identifique o simétrico de cada elemento de
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o simétrico (ou inverso) de cada elemento de
, o grupo das permutações de três elementos. Vamos usar teoria de grupos e representação em ciclos para encontrar cada inverso.
Passo 2
Em qualquer grupo, o inverso de um elemento
é aquele que, ao ser composto com
, dá a identidade. No caso de permutações escritas em notação cíclica:
– Uma transposição (um ciclo de comprimento 2) é o próprio inverso, pois fazer duas vezes a mesma troca retorna ao estado original.
– Um ciclo de comprimento 3 tem como inverso o ciclo escrito no sentido oposto. Se , então
.
– Uma transposição (um ciclo de comprimento 2) é o próprio inverso, pois fazer duas vezes a mesma troca retorna ao estado original.
– Um ciclo de comprimento 3 tem como inverso o ciclo escrito no sentido oposto. Se
Passo 3
Listamos os elementos de
:
(identidade),
(transposições),
e
(3-ciclos).
Passo 4
Aplicando as regras acima:
– .
– Para cada transposição , vale
.
– Para os 3-ciclos:
e
.
–
– Para cada transposição
– Para os 3-ciclos: