Identifique o simétrico de cada elemento de S3.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o simétrico (ou inverso) de cada elemento de S3, o grupo das permutações de três elementos. Vamos usar teoria de grupos e representação em ciclos para encontrar cada inverso.

Passo 2

Em qualquer grupo, o inverso de um elemento sigma é aquele que, ao ser composto com sigma, dá a identidade. No caso de permutações escritas em notação cíclica:
– Uma transposição (um ciclo de comprimento 2) é o próprio inverso, pois fazer duas vezes a mesma troca retorna ao estado original.
– Um ciclo de comprimento 3 tem como inverso o ciclo escrito no sentido oposto. Se sigma=(a,b,c), então sigma^-1=(a,c,b).

Passo 3

Listamos os elementos de S3:
;e (identidade),
;(1,2),;(1,3),;(2,3) (transposições),
;(1,2,3) e (1,3,2) (3-ciclos).

Passo 4

Aplicando as regras acima:
e^-1=e.
– Para cada transposição tauin(1,2),(1,3),(2,3), vale tau^-1=tau.
– Para os 3-ciclos:
(1,2,3)^-1=(1,3,2) e (1,3,2)^-1=(1,2,3).

Resposta

e^-1&=e, (1,2)^-1&=(1,2), (1,3)^-1&=(1,3), (2,3)^-1&=(2,3), (1,2,3)^-1&=(1,3,2), (1,3,2)^-1&=(1,2,3)

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