Considere o conjunto E=R^3 com as operações abaixo:
Adição: (x1, x2, x3)+(y1, y2, y3)=(x1+y1, x2+y2, x3+y3);
Multiplicação por escalar: alpha cdot(x1, x2, x3)=(alpha cdot x1, x2, x3)
Verifique se E é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define em E=R^3 a adição usual
(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)=(x1+y1,;x2+y2,;x3+y3)
e a multiplicação por escalar
alphacdot(x1,x2,x3)=(alpha x1,;x2,;x3)
Para verificar se E é espaço vetorial sobre R, precisamos checar todos os axiomas de espaço vetorial, em particular os que envolvem distribuição de soma de escalares e vetores.

Passo 2

As propriedades de adição (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro (0,0,0) e inversos -(x1,x2,x3)=(-x1,-x2,-x3)) são as mesmas de R^3 e, portanto, estão todas satisfeitas.

Passo 3

Vamos testar o axioma
(alpha+beta),u ;=; alpha,u ;+;beta,u
para um vetor genérico u=(x1,x2,x3).
– Do lado esquerdo:
(alpha+beta),u =l((alpha+beta)x1,;x2,;x3r)
– Do lado direito:
alpha,u+beta,u =(alpha x1,x2,x3)+(beta x1,x2,x3) =l(alpha x1+beta x1,;x2+x2,;x3+x3r) =l((alpha+beta)x1,;2x2,;2x3r)
Como em geral (x2,x3)neq(0,0), vemos que
(alpha+beta),u neq alpha,u+beta,u
Logo, falha a distribuição da soma de escalares sobre vetores.

Passo 4

Bastou encontrar essa violação para concluir que nem todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos.

Resposta

E não é um espaço vetorial, pois falha o axioma (alpha+beta)u=alpha u+beta u.

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