Considere o conjunto
com as operações abaixo:
Adição:
;
Multiplicação por escalar:
Verifique se
é um espaço vetorial.
Adição:
Multiplicação por escalar:
Verifique se
Passo 1
O enunciado define em
a adição usual
e a multiplicação por escalar
Para verificar se
é espaço vetorial sobre
, precisamos checar todos os axiomas de espaço vetorial, em particular os que envolvem distribuição de soma de escalares e vetores.
Passo 2
As propriedades de adição (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro
e inversos
) são as mesmas de
e, portanto, estão todas satisfeitas.
Passo 3
Vamos testar o axioma
para um vetor genérico
.
– Do lado esquerdo:
– Do lado direito:
Como em geral
, vemos que
Logo, falha a distribuição da soma de escalares sobre vetores.
Passo 4
Bastou encontrar essa violação para concluir que nem todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos.