Considere o conjunto
com as operações de adição e multiplicação dadas a seguir:
Prove que
é um anel comutativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos um conjunto
com duas operações: adição (
) e multiplicação (
). As operações são definidas assim:
A gente precisa provar que
é um anel comutativo. Um anel comutativo é tipo uma estrutura matemática que tem duas operações que se comportam de maneira específica, seguindo algumas regras. Vamos precisar verificar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
forma um grupo abeliano. Isso significa que a operação
precisa ser fechada, associativa, ter um elemento neutro, inversos e ser comutativa.
Fechamento: Se pegar dois elementos
e
de
e fazer
, o resultado também está em
porque a soma e a adição de 1 não saem do conjunto.
Associatividade: Precisamos ver se
.
Vamos calcular os dois lados:
Como são iguais, a operação é associativa.
Elemento Neutro: Procuramos um elemento
tal que
para todo
.
Então, o elemento neutro é
.
Inversos: Para cada
, existe um
tal que
.
Comutatividade:
. Então, é comutativa.
Então,
é um grupo abeliano.
Passo 3
Agora, vamos ver se a operação
é associativa. Precisamos checar se
.
Calculando o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Como os dois lados são iguais,
é associativa.
Passo 4
Vamos verificar se a multiplicação
distribui sobre a adição
. Precisamos ver se:
Primeiro, calculando
:
Agora,
:
Como são iguais, a distribuição funciona.
Passo 5
Por último, vamos ver se a multiplicação é comutativa, ou seja, se
.
Então,
, o que mostra que a multiplicação é comutativa.
Resposta
Portanto, verificamos todas as propriedades necessárias:
é um grupo abeliano, a multiplicação
é associativa, distribui sobre
e é comutativa. Assim,
é realmente um anel comutativo.