Considere o conjunto A com as operações de adição e multiplicação dadas a seguir:
a oplus b=a+b+1 e a odot b=a+b+a b
Prove que (A, oplus, odot) é um anel comutativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos um conjunto A com duas operações: adição ( oplus ) e multiplicação ( odot ). As operações são definidas assim:
a oplus b = a + b + 1 e a odot b = a + b + a b
A gente precisa provar que (A, oplus, odot) é um anel comutativo. Um anel comutativo é tipo uma estrutura matemática que tem duas operações que se comportam de maneira específica, seguindo algumas regras. Vamos precisar verificar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se (A, oplus) forma um grupo abeliano. Isso significa que a operação oplus precisa ser fechada, associativa, ter um elemento neutro, inversos e ser comutativa.
Fechamento: Se pegar dois elementos a e b de A e fazer a oplus b = a + b + 1 , o resultado também está em A porque a soma e a adição de 1 não saem do conjunto.
Associatividade: Precisamos ver se (a oplus b) oplus c = a oplus (b oplus c) .
Vamos calcular os dois lados:
(a oplus b) oplus c = (a + b + 1) + c + 1 = a + b + c + 2
a oplus (b oplus c) = a + (b + c + 1) + 1 = a + b + c + 2
Como são iguais, a operação é associativa.
Elemento Neutro: Procuramos um elemento e tal que a oplus e = a para todo a .
a oplus e = a + e + 1 = a implies e + 1 = 0 implies e = -1
Então, o elemento neutro é -1 .
Inversos: Para cada a , existe um b tal que a oplus b = -1 .
a + b + 1 = -1 implies b = -a - 2
Comutatividade: a oplus b = a + b + 1 = b + a + 1 = b oplus a . Então, é comutativa.
Então, (A, oplus) é um grupo abeliano.

Passo 3

Agora, vamos ver se a operação odot é associativa. Precisamos checar se (a odot b) odot c = a odot (b odot c) .
Calculando o lado esquerdo:
(a odot b) odot c = (a + b + a b) odot c = (a + b + a b) + c + (a + b + a b) c
= a + b + c + a b + a c + b c + a b c
Agora, o lado direito:
a odot (b odot c) = a odot (b + c + b c) = a + (b + c + b c) + a (b + c + b c)
= a + b + c + b c + a b + a c + a b c
Como os dois lados são iguais, odot é associativa.

Passo 4

Vamos verificar se a multiplicação odot distribui sobre a adição oplus . Precisamos ver se:
a odot (b oplus c) = (a odot b) oplus (a odot c)
(b oplus c) odot a = (b odot a) oplus (c odot a)
Primeiro, calculando a odot (b oplus c) :
a odot (b oplus c) = a odot (b + c + 1) = a + (b + c + 1) + a(b + c + 1)
= a + b + c + 1 + a b + a c + a = 2a + b + c + a b + a c + 1
Agora, (a odot b) oplus (a odot c) :
(a odot b) oplus (a odot c) = (a + b + a b) + (a + c + a c) + 1
= 2a + b + c + a b + a c + 1
Como são iguais, a distribuição funciona.

Passo 5

Por último, vamos ver se a multiplicação é comutativa, ou seja, se a odot b = b odot a .
a odot b = a + b + a b
b odot a = b + a + b a = a + b + a b
Então, a odot b = b odot a , o que mostra que a multiplicação é comutativa.

Resposta

Portanto, verificamos todas as propriedades necessárias: (A, oplus) é um grupo abeliano, a multiplicação odot é associativa, distribui sobre oplus e é comutativa. Assim, (A, oplus, odot) é realmente um anel comutativo.

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