Verifique se B é subanel de A
A=(M2(R),+, cdot) e B=(cca & 0 0 & -a) ; a in R.

Passo 1

Vamos ver se o conjunto B é um subanel do conjunto A . Aqui, A = M2(R) é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, e B é formado pelas matrizes do tipo a & 0 0 & -a , onde a é um número real. Para isso, vamos usar os conceitos de subanel da álgebra abstrata e verificar se B satisfaz os requisitos necessários para ser um subanel de A .

Passo 2

Primeiro, precisamos checar se B é um subgrupo de A em relação à adição de matrizes. Isso significa verificar duas coisas:
  1. Fechamento pela adição: Se pegarmos duas matrizes em B e somarmos elas, o resultado também deve estar em B .
  2. Existência do inverso aditivo: Para cada matriz em B , deve existir uma matriz que, somada a ela, dá a matriz nula.
Vamos testar isso:
Se temos duas matrizes em B :
a & 0 0 & -a + b & 0 0 & -b = a+b & 0 0 & -a - b
A matriz resultante também está em B , pois é da forma c & 0 0 & -c com c = a + b .
Para o inverso aditivo:
- a & 0 0 & -a = -a & 0 0 & a
Que também está em B , já que -a é um número real.
Portanto, B é um subgrupo de A em relação à adição.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se B é fechado pela multiplicação. Isso significa que se multiplicarmos duas matrizes em B , o resultado também deve estar em B .
Vamos multiplicar duas matrizes quaisquer de B :
a & 0 0 & -a cdot b & 0 0 & -b = a cdot b & 0 0 & (-a) cdot (-b) = ab & 0 0 & ab
Para que essa matriz esteja em B , ela deve ser da forma c & 0 0 & -c . Porém, vimos que o elemento em (2,2) é ab e não -ab . Isso só seria possível se ab = 0 , ou seja, se pelo menos um dos números a ou b fosse zero, o que nem sempre é o caso.
Portanto, B não é fechado pela multiplicação.

Resposta

Como B não é fechado pela multiplicação, B não é um subanel de A .

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