Verifique se B é subanel de A
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto
é um subanel de
. Basicamente, estamos trabalhando com álgebra, mais especificamente com teoria dos anéis. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subanel: o conjunto precisa ser não vazio, fechado sob adição, fechado sob inversos aditivos e fechado sob multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
não está vazio. Fácil! Basta escolher
e
. Assim,
está em
. Então,
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois elementos quaisquer de
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos considerar dois elementos de
:
Sua soma é:
Note que
e
são números reais, já que
. Portanto,
está em
. Logo,
é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos verificar se
é fechado sob inversos aditivos. Ou seja, para todo elemento
em
, seu inverso
também deve estar em
.
Seja
, então:
Como
e
também são números reais,
pertence a
. Assim,
é fechado sob inversos aditivos.
Passo 5
Por último, precisamos ver se
é fechado sob multiplicação. Isso significa que, se pegarmos dois elementos quaisquer de
, o produto deles também deve estar em
.
Vamos multiplicar dois elementos de
:
O produto é:
Sabemos que
, então:
Rearranjando:
Como
e
são reais,
também está em
. Logo,
é fechado sob multiplicação.
Resposta
Como
satisfaz todas as condições para ser um subanel de
(não vazio, fechado sob adição, inversos aditivos e multiplicação), concluímos que
é realmente um subanel de
.