Verifique se B é subanel de A
A=(R,+, cdot) e B=a+b raiz5 ; a, b in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto B = a + braiz5 ;|; a, b in R é um subanel de A = (R, +, cdot) . Basicamente, estamos trabalhando com álgebra, mais especificamente com teoria dos anéis. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subanel: o conjunto precisa ser não vazio, fechado sob adição, fechado sob inversos aditivos e fechado sob multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se B não está vazio. Fácil! Basta escolher a = 0 e b = 0 . Assim, 0 + 0raiz5 = 0 está em B . Então, B não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos checar se B é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois elementos quaisquer de B , a soma deles também deve estar em B .
Vamos considerar dois elementos de B :
x = a1 + b1raiz5
y = a2 + b2raiz5
Sua soma é:
x + y = (a1 + a2) + (b1 + b2)raiz5
Note que a1 + a2 e b1 + b2 são números reais, já que a1, a2, b1, b2 in R . Portanto, x + y está em B . Logo, B é fechado sob adição.

Passo 4

Vamos verificar se B é fechado sob inversos aditivos. Ou seja, para todo elemento x em B , seu inverso -x também deve estar em B .
Seja x = a + braiz5 , então:
-x = -a - braiz5
Como -a e -b também são números reais, -x pertence a B . Assim, B é fechado sob inversos aditivos.

Passo 5

Por último, precisamos ver se B é fechado sob multiplicação. Isso significa que, se pegarmos dois elementos quaisquer de B , o produto deles também deve estar em B .
Vamos multiplicar dois elementos de B :
x = a1 + b1raiz5
y = a2 + b2raiz5
O produto é:
x cdot y = (a1 + b1raiz5)(a2 + b2raiz5) = a1a2 + a1b2raiz5 + a2b1raiz5 + b1b2(raiz5)^2
Sabemos que (raiz5)^2 = 5 , então:
x cdot y = a1a2 + (a1b2 + a2b1)raiz5 + 5b1b2
Rearranjando:
x cdot y = (a1a2 + 5b1b2) + (a1b2 + a2b1)raiz5
Como a1a2 + 5b1b2 e a1b2 + a2b1 são reais, x cdot y também está em B . Logo, B é fechado sob multiplicação.

Resposta

Como B satisfaz todas as condições para ser um subanel de A (não vazio, fechado sob adição, inversos aditivos e multiplicação), concluímos que B é realmente um subanel de A = (R, +, cdot) .

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