Encontre uma base e a dimensão para cada espaço vetorial seguinte:
(x, y) in R^2 ; x-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão do subespaço de R^2 definido pela equação
(x,y)inR^2 mid x - 3y = 0
O conteúdo envolvido é o de subespaços vetoriais: vamos usar a técnica de parametrização de soluções de uma equação linear para identificar um gerador do espaço e então extrair uma base e sua dimensão.

Passo 2

Da condição x-3y=0 segue que
x = 3y
Logo, um vetor genérico (x,y) desse subespaço pode ser escrito como
(x,y) = (3y,y) = y,(3,1), yinR
Isso mostra que todo vetor do espaço é um múltiplo escalar de (3,1).

Passo 3

Como (3,1)neq(0,0), o conjunto (3,1) é linearmente independente e gera todo o subespaço. Portanto
— uma base é (3,1).
— a dimensão é o número de vetores da base, isto é, 1.

Resposta

Base: (3,1)
Dimensão: 1

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