Encontre uma base e a dimensão para cada espaço vetorial seguinte:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão do subespaço de
definido pela equação
O conteúdo envolvido é o de subespaços vetoriais: vamos usar a técnica de parametrização de soluções de uma equação linear para identificar um gerador do espaço e então extrair uma base e sua dimensão.
Passo 2
Da condição
segue que
Logo, um vetor genérico
desse subespaço pode ser escrito como
Isso mostra que todo vetor do espaço é um múltiplo escalar de
.
Passo 3
Como
, o conjunto
é linearmente independente e gera todo o subespaço. Portanto
— uma base é .
— a dimensão é o número de vetores da base, isto é, .
— uma base é
— a dimensão é o número de vetores da base, isto é,
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: