Encontre a matriz de passagem da base canônica C=e1=(1,0), e2=(0,1) subset R^2 para a base V=v1=(1,1), v2=(-1,2) subset R^2.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de passagem que leva as coordenadas de um vetor em relação à base canônica C=e1,e2 para as coordenadas do mesmo vetor em relação à base V=v1,v2, onde
v1=(1,1), v2=(-1,2)
O conteúdo é mudança de base em R^2. Vamos usar que, se Q é a matriz cujas colunas são v1 e v2 em coordenadas canônicas, então para todo vetor x vale
[x]C = Q,[x]V
Como queremos [x]V em função de [x]C, a matriz de passagem de C para V é
P = Q^-1

Passo 2

Montamos a matriz Q colocando v1 e v2 como colunas, já que essas são as coordenadas canônicas de v1 e v2:
Q = 1 & -1 1 & 2
Logo, [x]C = Q,[x]V. Para inverter essa relação e obter [x]V = P,[x]C, definimos
P = Q^-1

Passo 3

Para calcular Q^-1, usamos a fórmula da matriz inversa de 2times2. Primeiro o determinante:
det(Q) = 1cdot 2 - (-1)cdot 1 = 2 + 1 = 3
Em seguida, trocamos a posição dos elementos da diagonal principal e mudamos de sinal os da diagonal secundária, dividindo tudo por det(Q):
Q^-1 = 13 2 & 1 -1 & 1

Resposta

A matriz de passagem de C para V é
P = 13 2 & 1 -1 & 1

Exercícios relacionados