Encontre a matriz de passagem da base canônica para a base .
Passo 1
O enunciado pede a matriz de passagem que leva as coordenadas de um vetor em relação à base canônica para as coordenadas do mesmo vetor em relação à base , onde
O conteúdo é mudança de base em . Vamos usar que, se é a matriz cujas colunas são e em coordenadas canônicas, então para todo vetor vale
Como queremos em função de , a matriz de passagem de para é
Passo 2
Montamos a matriz colocando e como colunas, já que essas são as coordenadas canônicas de e :
Logo, [x]C = Q,[x]V. Para inverter essa relação e obter [x]V = P,[x]C, definimos
P = Q^-1
Passo 3
Para calcular Q^-1, usamos a fórmula da matriz inversa de 2times2. Primeiro o determinante:
det(Q) = 1cdot 2 - (-1)cdot 1 = 2 + 1 = 3
Em seguida, trocamos a posição dos elementos da diagonal principal e mudamos de sinal os da diagonal secundária, dividindo tudo por det(Q):