Verifique se os vetores
v1=(1,0,-1), v2=(1,2,1), v3=(0,-3,2)
formam uma base para o espaço vetorial R^3 e, caso forme, escreva o vetor v=(3,-5,7) como combinação linear de v1, v2 e v3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se os vetores
v1=(1,0,-1), v2=(1,2,1), v3=(0,-3,2)
formam uma base de R^3 e, caso afirmativo, escrever
v=(3,-5,7)
como combinação linear de v1,v2,v3. O conteúdo é linearidade e base em espaços vetoriais.

Passo 2

Para checar se v1,v2,v3 é base de R^3 basta ver se são linearmente independentes. Montamos a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3 e calculamos seu determinante:
A = 1 & 1 & 0 0 & 2 & -3 -1 & 1 & 2

Passo 3

Calculando
det(A) =1cdotdet2 & -31 & 2 -1cdotdet0 & -3-1 & 2 +0cdot(cdots)
=1,(2cdot2 -(-3)cdot1) -1,(0cdot2 -(-3)cdot(-1)) =1,(4+3)-1,(0-3) =7-(-3)=10neq0
Como det(A)neq0, os vetores são L.I. e formam base de R^3.

Passo 4

Agora escrevemos
(3,-5,7)=a,(1,0,-1)+b,(1,2,1)+c,(0,-3,2)
Isso gera o sistema em a,b,c:
a + b = 3, a+2b -3c = -5, -,a + b +2c = 7

Passo 5

Da primeira equação vem a=3-b. Substituindo na terceira:
-(3-b)+b+2c=7;Longrightarrow;-3+2b+2c=7;Longrightarrow;b+c=5;Longrightarrow;c=5-b
Agora na segunda:
2b-3(5-b)=-5;Longrightarrow;2b-15+3b=-5;Longrightarrow;5b=10;Longrightarrow;b=2
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a=3-2=1, c=5-2=3

Resposta

Os vetores formam base de R^3 e
(3,-5,7)=1,v1+2,v2+3,v3

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