Considere o conjunto V=(x, y): x, y in R com as operações:
l (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2+3) alpha odot(x, y)=(alpha x, alpha y+3(alpha-1)), forall alpha in R
Exiba o elemento oposto de (x, y) com respeito a adição oplus.

Passo 1

O enunciado define em V=(x,y):x,yinR a soma
(x1,y1)oplus(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2+3)
e pede o elemento oposto de um vetor (x,y) relativamente a essa soma. Para isso, vamos primeiro encontrar o elemento neutro de oplus e depois o oposto genérico.

Passo 2

Buscamos o elemento neutro e=(e1,e2) tal que
(x,y)oplus(e1,e2)=(x,y)
Isso dá o sistema
x+e1=x, y+e2+3=y
Da primeira equação vem e1=0 e da segunda e2=-3. Logo o neutro é
0V=(0,-3)

Passo 3

Queremos agora (u,v) tal que
(x,y)oplus(u,v)=0V=(0,-3)
Isso implica
x+u=0Longrightarrow u=-x,
y+v+3=-3Longrightarrow v=-y-6
Portanto, o oposto de (x,y) é
(-x,,-y-6)

Resposta

O elemento oposto de (x,y) em relação a oplus é ;(-x,,-y-6).

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