Considere o conjunto V=(x, y): x, y in R com as operações:
l (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2+3) alpha odot(x, y)=(alpha x, alpha y+3(alpha-1)), forall alpha in R
Exiba o elemento neutro da adição em V.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre encontrar o elemento neutro da adição no conjunto V = (x, y) : x, y in R com operações específicas de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar entender o que é um elemento neutro e como aplicá-lo nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento neutro. Em uma operação de adição, o elemento neutro é aquele que, quando adicionado a qualquer outro elemento do conjunto, não altera esse outro elemento. Em termos matemáticos, se e é o elemento neutro, então para qualquer (x, y) in V :
e oplus (x, y) = (x, y)

Passo 3

Agora, vamos considerar a operação de adição definida no problema:
(x1, y1) oplus (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2 + 3)
Queremos encontrar e = (e1, e2) tal que:
(e1, e2) oplus (x, y) = (x, y)

Passo 4

Vamos aplicar a operação de adição com o elemento neutro:
(e1 + x, e2 + y + 3) = (x, y)
Isso nos dá duas equações:
  1. e1 + x = x
  2. e2 + y + 3 = y

Passo 5

Resolvendo a primeira equação e1 + x = x :
e1 + x = x implies e1 = 0
Então, o primeiro componente do elemento neutro é 0.

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda equação e2 + y + 3 = y :
e2 + y + 3 = y implies e2 + 3 = 0 implies e2 = -3
Portanto, o segundo componente do elemento neutro é -3.

Resposta

O elemento neutro da adição em V é (0, -3) .

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