Dados os pontos do R^3: F=(1,-1,1), Q=(2,0,2), P=(2,1,4) e T=(3,2,5)
Obtenha uma equação cartesiana para o plano do item anterior.

Passo 1

Temos os pontos F=(1,-1,1), Q=(2,0,2), P=(2,1,4) em R^3. Queremos a equação cartesiana do plano que passa por esses três pontos. Para isso, vamos usar a forma normal-ponto do plano: precisamos de um vetor normal ao plano, que obtemos via produto vetorial de dois vetores diretores contidos no plano.

Passo 2

Escolhemos como vetores diretores
FQ=Q-F=(2-1,;0-(-1),;2-1)=(1,1,1)
e
FP=P-F=(2-1,;1-(-1),;4-1)=(1,2,3).
O vetor normal n é dado pelo produto vetorial
n = FQ times FP = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 = i(1cdot3 - 1cdot2) - j(1cdot3 - 1cdot1) + k(1cdot2 - 1cdot1) = (1,-2,1)

Passo 3

Usamos a forma normal-ponto:
ncdotl((x,y,z)-Fr)=0 Longrightarrow (1,-2,1)cdotl((x-1),,(y+1),,(z-1)r)=0
Isso dá
1(x-1)-2(y+1)+1(z-1)=0 Longrightarrow x-1-2y-2+z-1=0 Longrightarrow x-2y+z-4=0

Passo 4

Como curiosidade, se substituirmos T=(3,2,5) em x-2y+z-4 obtemos 3-2cdot2+5-4=0, então T também está nesse plano (os quatro pontos são coplanares).

Resposta

A equação cartesiana do plano é
x - 2y + z - 4 = 0

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