Considere o conjunto V=(x, y): x, y in R com as operações:
l (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2+3) alpha odot(x, y)=(alpha x, alpha y+3(alpha-1)), forall alpha in R
Verifique se W=(x, y) in V: y=-3 é subespaço de V com as operações oplus e odot.

Passo 1

O enunciado define o espaço V=(x,y):x,yinR com as operações
(x1,y1)oplus(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2+3),
alphaodot(x,y)=(alpha x,;alpha y+3(alpha-1))
Queremos saber se
W=(x,y)in V: y=-3
é subespaço de V. Para isso vamos: (i) encontrar o vetor zero de V, (ii) verificar que ele está em W, (iii) checar fechamento de W em relação a oplus e (iv) em relação a odot.

Passo 2

Encontrar o vetor zero 0V=(e1,e2) de V exige
(e1,e2)oplus(x,y)=(x,y)forall(x,y)
Pela definição de oplus temos
(e1+x,;e2+y+3)=(x,y),
logo e1=0 e e2+y+3=yimplies e2=-3. Assim
0V=(0,-3)

Passo 3

Verificamos que 0V=(0,-3) satisfaz a condição y=-3, logo 0V in W. Portanto W é não‐vazio e contém o vetor zero de V.

Passo 4

Fechamento em relação a oplus: tomemos (x1,-3) e (x2,-3) em W. Então
(x1,-3)oplus(x2,-3) =(x1+x2,;-3+(-3)+3) =(x1+x2,;-3),
que também pertence a W.

Passo 5

Fechamento em relação a odot: para alphainR e (x,-3)in W temos
alphaodot(x,-3) =(alpha x,;alpha(-3)+3(alpha-1)) =(alpha x,;-3alpha+3alpha-3) =(alpha x,;-3),
que permanece em W.

Resposta

Sim. W é subespaço de V com as operações oplus e odot.

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