Considere um conjunto de
osciladores harmônicos quânticos, unidimensionais, localizados e não interagentes. O hamiltoniano que descreve o sistema é dado por
onde
(a) Mostre que a energia por oscilador é escrita como
(b) Mostre que para temperatura muito altas, o calor específico
converge para
EBSCO Publishing : eBook Collection (EBSCOhost) - printed on 10/14/2022 8:22 PM via UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN
AN: 2125335 ; Leonel, Edson Denis.; Fundamentos da Fisica estatistica
Account: s5870834
recuperando assim a lei de Dulong-Petit.
AN: 2125335 ; Leonel, Edson Denis.; Fundamentos da Fisica estatistica
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recuperando assim a lei de Dulong-Petit.
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema trata de osciladores harmônicos quânticos e envolve conceitos de física estatística. Precisaremos usar a energia dos osciladores quânticos e a distribuição de Boltzmann para encontrar a energia por oscilador $ U(T) $ e, depois, determinar o calor específico $ c $ em altas temperaturas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um oscilador harmônico quântico. É um sistema onde uma partícula se move em torno de uma posição de equilíbrio, e sua energia é quantizada. A energia dos níveis é dada por:
onde:
- $ n $ é um número inteiro não negativo (0, 1, 2, …),
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ \omega $ é a frequência angular do oscilador.
Passo 3
Para encontrar a energia média por oscilador $ U(T) $ a uma temperatura $ T $, usamos a estatística de Bose-Einstein para sistemas não interagentes. A energia média é dada por:
onde $ k_B $ é a constante de Boltzmann.
Passo 4
Vamos calcular o numerador da expressão:
Podemos separar a soma em duas partes:
Passo 5
Simplificando as somas, reconhecemos que são séries geométricas. Primeiro, definimos:
Então, a soma no numerador fica:
E o denominador é:
Passo 6
Dividindo o numerador pelo denominador, obtemos:
Substituindo $ x $ de volta:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que, para temperaturas muito altas ($ T \rightarrow \infty $), o calor específico $ c = \frac{\partial U}{\partial T} $ converge para $ k_B $.
Primeiro, derivamos $ U(T) $ em relação a $ T $:
A derivada da constante é zero, então:
Passo 8
Vamos calcular a derivada:
Portanto:
Passo 9
Para temperaturas muito altas ($ T \rightarrow \infty $), o termo $ \frac{\hbar \omega}{k_B T} $ se torna muito pequeno. Podemos expandir a exponencial em série de Taylor:
Substituindo na expressão de $ c(T) $:
Resposta
(a) A energia por oscilador é $ U(T) = \frac{1}{2} \hbar \omega + \frac{\hbar \omega}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}} - 1} $.
(b) Para temperaturas muito altas, o calor específico converge para $ c(T \rightarrow \infty) = k_B $, recuperando assim a lei de Dulong-Petit.