Considere um sistema composto por
partículas sendo que cada uma delas só pode ocupar dois possíveis níveis de energia: (i)
e; (ii)
. A energia total do sistema é dada por
.
(a) Obtenha a expressão da entropia do sistema;
(b) Encontre uma expressão da temperatura do sistema como uma função da energia
.
(a) Obtenha a expressão da entropia do sistema;
(b) Encontre uma expressão da temperatura do sistema como uma função da energia
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com
partículas, e cada partícula pode estar em dois níveis de energia:
ou
. A energia total do sistema é
. Precisamos:
(a) Encontrar a expressão da entropia do sistema.
(b) Determinar a temperatura do sistema em função da energia
.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de estudo de distribuição de partículas e termodinâmica, como a definição de entropia e a relação entre energia e temperatura.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a): Encontrar a expressão da entropia do sistema.
Primeiro, precisamos entender quantas maneiras diferentes as partículas podem se distribuir entre os dois níveis de energia. Isso nos ajuda a calcular a entropia, que basicamente mede a desordem ou o número de microestados possíveis do sistema.
Passo 3
Como cada partícula pode estar em dois níveis, e queremos que a energia total seja
, temos que determinar quantas partículas estão no estado de energia
. Vamos chamar esse número de
.
Então, a energia total é:
Isso significa que
.
Passo 4
Agora, para calcular o número de microestados
, que é o número de maneiras de escolher
partículas que estarão no nível de energia
(e as restantes no nível
), usamos a combinação:
Passo 5
A entropia
é dada pela relação de Boltzmann:
onde
é a constante de Boltzmann.
Substituindo
:
Passo 6
Para simplificar, podemos usar a aproximação de Stirling, válida para
,
, e
grandes:
Aplicando isso na expressão da entropia:
Passo 7
Substituindo
, chegamos à expressão da entropia em função de
:
Passo 8
Agora, vamos para o item (b): Encontrar a temperatura do sistema como uma função da energia
.
A temperatura está relacionada à variação da energia com a entropia. A relação é dada por:
Então, precisamos derivar a expressão da entropia em relação a
.
Passo 9
Tomando a derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 10
Usando a relação da temperatura:
Invertendo para encontrar
:
Resposta
(a) A expressão da entropia do sistema é:
(b) A temperatura do sistema em função da energia
é: