Considere um sistema composto por N partículas sendo que cada uma delas só pode ocupar dois possíveis níveis de energia: (i) tildeU=0 e; (ii) tildeU=epsilon. A energia total do sistema é dada por U.
(a) Obtenha a expressão da entropia do sistema;
(b) Encontre uma expressão da temperatura do sistema como uma função da energia U.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com N partículas, e cada partícula pode estar em dois níveis de energia: 0 ou epsilon. A energia total do sistema é U. Precisamos:
(a) Encontrar a expressão da entropia do sistema.
(b) Determinar a temperatura do sistema em função da energia U.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de estudo de distribuição de partículas e termodinâmica, como a definição de entropia e a relação entre energia e temperatura.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): Encontrar a expressão da entropia do sistema.
Primeiro, precisamos entender quantas maneiras diferentes as partículas podem se distribuir entre os dois níveis de energia. Isso nos ajuda a calcular a entropia, que basicamente mede a desordem ou o número de microestados possíveis do sistema.

Passo 3

Como cada partícula pode estar em dois níveis, e queremos que a energia total seja U, temos que determinar quantas partículas estão no estado de energia epsilon. Vamos chamar esse número de n.
Então, a energia total é:
U = n cdot epsilon
Isso significa que n = Uepsilon.

Passo 4

Agora, para calcular o número de microestados Omega, que é o número de maneiras de escolher n partículas que estarão no nível de energia epsilon (e as restantes no nível 0), usamos a combinação:
Omega = binomNn = N!n! (N - n)!

Passo 5

A entropia S é dada pela relação de Boltzmann:
S = kB ln Omega
onde kB é a constante de Boltzmann.
Substituindo Omega:
S = kB ln ( N!n! (N - n)! )

Passo 6

Para simplificar, podemos usar a aproximação de Stirling, válida para N, n, e N-n grandes:
ln N! approx N ln N - N
Aplicando isso na expressão da entropia:
S approx kB [N ln N - n ln n - (N - n) ln (N - n)]

Passo 7

Substituindo n = Uepsilon, chegamos à expressão da entropia em função de U:
S approx kB [ N ln N - Uepsilon ln ( Uepsilon ) - (N - Uepsilon) ln (N - Uepsilon) ]

Passo 8

Agora, vamos para o item (b): Encontrar a temperatura do sistema como uma função da energia U.
A temperatura está relacionada à variação da energia com a entropia. A relação é dada por:
1T = ( partial Spartial U )N
Então, precisamos derivar a expressão da entropia em relação a U.

Passo 9

Tomando a derivada de S em relação a U:
partial Spartial U = kB [ -1epsilon ln ( Uepsilon ) + 1epsilon ln (N - Uepsilon) ]
Simplificando:
partial Spartial U = kBepsilon ln ( N - UepsilonUepsilon ) = kBepsilon ln ( Nepsilon - UU )

Passo 10

Usando a relação da temperatura:
1T = kBepsilon ln ( Nepsilon - UU )
Invertendo para encontrar T:
T = epsilonkB ln ( Nepsilon - UU )

Resposta

(a) A expressão da entropia do sistema é:
S approx kB [ N ln N - Uepsilon ln ( Uepsilon ) - (N - Uepsilon) ln (N - Uepsilon) ]
(b) A temperatura do sistema em função da energia U é:
T = epsilonkB ln ( Nepsilon - UU )

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