Considere o seguinte hamiltoniano
H(q, p)=p^22 m+m g q,
onde m é a massa de uma partícula e g é o campo gravitacional constante. Em q=0 existe uma plataforma fixa onde a partícula colide elasticamente e é refletida. Esse hamiltoniano descreve uma partícula imersa em um campo gravitacional constante e que tem contribuição de dois tipos de energia na energia total, sendo elas a energia cinética e energia potencial gravitacional. Encontre a expressão do número de estados acessíveis ao sistema Omega(E, De com energia entre E e E+De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a expressão do número de estados acessíveis ao sistema, denotado por Omega(E, De, para uma partícula com energia entre E e E + De. Estamos lidando com a física estatística, mais especificamente com conceitos de hamiltonianos e estados acessíveis em mecânica clássica. Para resolver isso, vamos precisar usar integração no espaço de fase e entender como calcular o volume desse espaço correspondente à faixa de energia dada.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é o hamiltoniano do sistema:
H(q, p) = p^22 m + m g q
Aqui, H(q, p) representa a energia total da partícula, que é a soma da energia cinética p^22 m e da energia potencial gravitacional m g q. m é a massa da partícula, g é a aceleração devido à gravidade, q é a posição e p é o momento da partícula.

Passo 3

Para encontrar Omega(E, De, precisamos calcular o número de estados possíveis com energia entre E e E + De. Em mecânica clássica, isso corresponde ao volume do espaço de fase (espaço das coordenadas q e p) onde a energia está nesse intervalo.
Matematicamente, isso é dado por:
Omega(E, De
Onde de é a função delta de Dirac que seleciona os estados com energia exatamente E. Mas como queremos uma faixa de energia De, ajustamos a integral para cobrir essa faixa.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Como H(q, p) depende apenas de q e p, podemos escrever:
Omega(E, De
Onde qmax e pmax são os valores máximos de q e p que mantêm a energia H(q, p) dentro do intervalo E a E + De.

Passo 5

Vamos encontrar qmax e pmax.
Da expressão do hamiltoniano:
E = p^22 m + m g q
Resolvendo para p:
p = raiz2 m (E - m g q)
Para que p seja real, precisamos que E - m g q >= 0, ou seja:
q <= Em g
Então, qmax = Em g, e para cada q, p varia de -raiz2 m (E - m g q) a raiz2 m (E - m g q).

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Omega(E, De
Primeiro, integramos em p:
integral-raiz2 m (E - m g q)^raiz2 m (E - m g q) dp = 2 raiz2 m (E - m g q)
Então, a expressão fica:
Omega(E, De

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = E - m g q Rightarrow du = -m g , dq Rightarrow dq = -dum g
Quando q = 0, u = E.
Quando q = Em g, u = 0.
Substituindo na integral:
Omega(E, De

Passo 8

Agora, integramos raizu em relação a u:
integral0^E raizu , du = 23 E^3/2
Então,
Omega(E, De

Resposta

A expressão do número de estados acessíveis ao sistema é:
Omega(E, De

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