Considere o seguinte hamiltoniano
onde
é a massa de uma partícula e
é o campo gravitacional constante. Em
existe uma plataforma fixa onde a partícula colide elasticamente e é refletida. Esse hamiltoniano descreve uma partícula imersa em um campo gravitacional constante e que tem contribuição de dois tipos de energia na energia total, sendo elas a energia cinética e energia potencial gravitacional. Encontre a expressão do número de estados acessíveis ao sistema
com energia entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a expressão do número de estados acessíveis ao sistema, denotado por
, para uma partícula com energia entre
e
. Estamos lidando com a física estatística, mais especificamente com conceitos de hamiltonianos e estados acessíveis em mecânica clássica. Para resolver isso, vamos precisar usar integração no espaço de fase e entender como calcular o volume desse espaço correspondente à faixa de energia dada.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é o hamiltoniano do sistema:
Aqui,
representa a energia total da partícula, que é a soma da energia cinética
e da energia potencial gravitacional
.
é a massa da partícula,
é a aceleração devido à gravidade,
é a posição e
é o momento da partícula.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos calcular o número de estados possíveis com energia entre
e
. Em mecânica clássica, isso corresponde ao volume do espaço de fase (espaço das coordenadas
e
) onde a energia está nesse intervalo.
Matematicamente, isso é dado por:
Onde
é a função delta de Dirac que seleciona os estados com energia exatamente
. Mas como queremos uma faixa de energia
, ajustamos a integral para cobrir essa faixa.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Como
depende apenas de
e
, podemos escrever:
Onde
e
são os valores máximos de
e
que mantêm a energia
dentro do intervalo
a
.
Passo 5
Vamos encontrar
e
.
Da expressão do hamiltoniano:
Resolvendo para
:
Para que
seja real, precisamos que
, ou seja:
Então,
, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em
:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, integramos
em relação a
:
Então,
Resposta
A expressão do número de estados acessíveis ao sistema é: