Considere o oscilador harmônico clássico cuja energia é escrita como
E=p^22 m+12 k q^2
onde m é a massa da partícula e k é a constante elástica. Mostre que o número de microestados do sistema com energia entre E e E+de dado pela Equação (4.21) está correto à exceção do termo
pi2 E raizmk(de

Passo 1

Então, você tem um exercício sobre o oscilador harmônico clássico. A questão pede para mostrar que o número de microestados com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $ está correto conforme a Equação (4.21), exceto por um termo específico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica estatística clássica e como calcular o número de microestados usando o espaço de fases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total do oscilador harmônico clássico é dada por:
E = p^22 m + 12 k q^2
Aqui, $ p $ é o momento, $ m $ é a massa, $ k $ é a constante elástica, e $ q $ é a posição.

Passo 3

Para encontrar o número de microestados com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $, precisamos calcular a área no espaço de fases que corresponde a essa faixa de energia. O espaço de fases é um gráfico onde o eixo horizontal representa as posições $ q $ e o eixo vertical representa os momentos $ p $.

Passo 4

A condição $ E \leq \frac{p^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} k q^{2} \leq E + \delta E $ descreve uma região no espaço de fases que é como uma anel (ou “shell”) entre duas elipses:
  • A primeira elipse corresponde a $ E $.
  • A segunda elipse corresponde a $ E + \delta E $.

Passo 5

A área $ \mathcal{A} $ de uma elipse no espaço de fases para energia $ E $ é dada por:
A
Onde:
  • $ q_{max} = \sqrt{\frac{2E}{k}} $ é a amplitude máxima da posição.
  • $ p_{max} = \sqrt{2 m E} $ é o momento máximo.

Passo 6

Calculando a área para energia $ E $:
E
Onde $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência angular do oscilador.

Passo 7

Agora, a área para energia $ E + \delta E $ será:
E + de

Passo 8

A área do “anel” entre $ E $ e $ E + \delta E $ é a diferença entre as duas áreas:
E

Passo 9

O número de microestados $ \Omega(E) $ é proporcional a essa área $ \Delta \mathcal{A} $:
Omega(E)
Onde $ h $ é a constante de Planck, que neste contexto pode ser usada para quantizar o espaço de fases.

Passo 10

Substituindo $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $:
omega = raizkm

Passo 11

Comparando com a Equação (4.21), vemos que a expressão que encontramos está faltando o termo:
pi2 E raizmk (de
Isso indica que, além do termo principal que obtivemos, há uma correção de segunda ordem em $ \delta E $ que não está contemplada na Equação (4.21).

Resposta

Portanto, mostramos que o número de microestados $ \Omega(E) $ para o oscilador harmônico clássico com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $ é dado por:
Omega(E)
E a Equação (4.21) está correta exceto pelo termo:
E

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