Considere o oscilador harmônico clássico cuja energia é escrita como
onde
é a massa da partícula e
é a constante elástica. Mostre que o número de microestados do sistema com energia entre
e
dado pela Equação (4.21) está correto à exceção do termo
Passo 1
Então, você tem um exercício sobre o oscilador harmônico clássico. A questão pede para mostrar que o número de microestados com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $ está correto conforme a Equação (4.21), exceto por um termo específico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica estatística clássica e como calcular o número de microestados usando o espaço de fases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total do oscilador harmônico clássico é dada por:
Aqui, $ p $ é o momento, $ m $ é a massa, $ k $ é a constante elástica, e $ q $ é a posição.
Passo 3
Para encontrar o número de microestados com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $, precisamos calcular a área no espaço de fases que corresponde a essa faixa de energia. O espaço de fases é um gráfico onde o eixo horizontal representa as posições $ q $ e o eixo vertical representa os momentos $ p $.
Passo 4
A condição $ E \leq \frac{p^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} k q^{2} \leq E + \delta E $ descreve uma região no espaço de fases que é como uma anel (ou “shell”) entre duas elipses:
- A primeira elipse corresponde a $ E $.
- A segunda elipse corresponde a $ E + \delta E $.
Passo 5
A área $ \mathcal{A} $ de uma elipse no espaço de fases para energia $ E $ é dada por:
Onde:
- $ q_{max} = \sqrt{\frac{2E}{k}} $ é a amplitude máxima da posição.
- $ p_{max} = \sqrt{2 m E} $ é o momento máximo.
Passo 6
Calculando a área para energia $ E $:
Onde $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência angular do oscilador.
Passo 7
Agora, a área para energia $ E + \delta E $ será:
Passo 8
A área do “anel” entre $ E $ e $ E + \delta E $ é a diferença entre as duas áreas:
Passo 9
O número de microestados $ \Omega(E) $ é proporcional a essa área $ \Delta \mathcal{A} $:
Onde $ h $ é a constante de Planck, que neste contexto pode ser usada para quantizar o espaço de fases.
Passo 10
Substituindo $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $:
Passo 11
Comparando com a Equação (4.21), vemos que a expressão que encontramos está faltando o termo:
Isso indica que, além do termo principal que obtivemos, há uma correção de segunda ordem em $ \delta E $ que não está contemplada na Equação (4.21).
Resposta
Portanto, mostramos que o número de microestados $ \Omega(E) $ para o oscilador harmônico clássico com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $ é dado por:
E a Equação (4.21) está correta exceto pelo termo: