Considere o conjunto
. Assim sendo, mostre que
é homeomorfo ao
.
Passo 1
O enunciado define
ou seja,
é o gráfico da função contínua
Sabemos que o gráfico de uma função contínua de
em
é homeomorfo a
. Para mostrar isso constrói-se uma bijeção contínua com inversa contínua entre
e
.
Passo 2
Definimos
– Injetividade: se
então
e
.
– Sobrejetividade: para todo temos
, logo
.
– Sobrejetividade: para todo
Passo 3
As coordenadas de
são polinômios em
, logo
é contínua em todo
.
Passo 4
Definimos o inverso
Esta é simplesmente a projeção nas duas primeiras coordenadas, que é contínua. Além disso verifica-se facilmente que
e
.
Resposta
A função
é um homeomorfismo de
em
. Portanto
é homeomorfo a
.