Considere o conjunto P=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; z=x^{2}+y^{2}\right\}. Assim sendo, mostre que P é homeomorfo ao \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define
P = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = x^2 + y^2\},
ou seja, P é o gráfico da função contínua
f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\quad f(x,y)=x^2+y^2.
Sabemos que o gráfico de uma função contínua de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R} é homeomorfo a \mathbb{R}^2. Para mostrar isso constrói-se uma bijeção contínua com inversa contínua entre \mathbb{R}^2 e P.

Passo 2

Definimos
\varphi\colon \mathbb{R}^2 \to P,\quad \varphi(u,v) = \bigl(u,\,v,\,u^2+v^2\bigr).
– Injetividade: se \varphi(u_1,v_1)=\varphi(u_2,v_2) então u_1=u_2 e v_1=v_2.
– Sobrejetividade: para todo (x,y,z)\in P temos z=x^2+y^2, logo \varphi(x,y)=(x,y,z).

Passo 3

As coordenadas de \varphi são polinômios em u,v, logo \varphi é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Passo 4

Definimos o inverso
\psi\colon P \to \mathbb{R}^2,\quad \psi(x,y,z) = (x,y).
Esta é simplesmente a projeção nas duas primeiras coordenadas, que é contínua. Além disso verifica-se facilmente que \psi\circ\varphi=\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2} e \varphi\circ\psi=\mathrm{id}_P.

Resposta

A função
\varphi(u,v) = \bigl(u,\,v,\,u^2+v^2\bigr)
é um homeomorfismo de \mathbb{R}^2 em P. Portanto P é homeomorfo a \mathbb{R}^2.

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