Considere f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array}\right.
Sendo assim, mostre que f não é contínua no ponto 0 .

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)=\begin{cases} \sin\bigl(\tfrac1x\bigr), & x\neq0,\\\\ 0, & x=0, \end{cases}
e pede para mostrar que f\] não é contínua em \(0. O conteúdo que vamos usar é o conceito de continuidade via limite: f seria contínua em 0 se e somente se
\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0.

Passo 2

Então, precisamos verificar se \lim_{x\to0}f(x) existe e vale 0. Se esse limite não existir (ou não for 0), concluímos que f não é contínua em 0.

Passo 3

Para mostrar que \lim_{x\to0}f(x) não existe, construímos duas sequências que vão a zero mas cujas imagens em f têm limites distintos.
Defina
x_n = \frac{1}{\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n}.
Então 1/x_n = \tfrac{\pi}{2}+2\pi n e
f(x_n)=\sin(1/x_n)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\bigr)=1.
Como x_n\to0, obtemos
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=1.

Passo 4

Agora escolha
y_n = \frac{1}{\tfrac{3\pi}{2} + 2\pi n},
de modo que 1/y_n = \tfrac{3\pi}{2}+2\pi n e
f(y_n)=\sin(1/y_n)=\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\bigr)=-1.
Como y_n\to0, temos
\lim_{n\to\infty}f(y_n)=-1.

Passo 5

As duas sequências (x_n) e (y_n) convergem para 0, mas \lim f(x_n)=1\neq -1=\lim f(y_n). Logo, \lim_{x\to0}f(x) não existe.

Resposta

A função f não é contínua em 0 pois o limite \lim_{x\to0}f(x) não existe.

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