Considere f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array}\right.
Sendo assim, mostre que f não é contínua no ponto 0 .
Passo 1
O enunciado define a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por
\[f(x)=\begin{cases} \sin\bigl(\tfrac1x\bigr), & x\neq0,\\\\ 0, & x=0, \end{cases}
e pede para mostrar que f\] não é contínua em \(0. O conteúdo que vamos usar é o conceito de continuidade via limite: f seria contínua em 0 se e somente se
\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0.
Passo 2
Então, precisamos verificar se \lim_{x\to0}f(x) existe e vale 0. Se esse limite não existir (ou não for 0), concluímos que f não é contínua em 0.
Passo 3
Para mostrar que \lim_{x\to0}f(x) não existe, construímos duas sequências que vão a zero mas cujas imagens em f têm limites distintos.
Defina