Considere
e
funções contínuas de modo que
, para todo
. Demonstre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções contínuas de
em
tais que
O objetivo é mostrar que, mesmo fora de
, vale
. Vamos usar dois fatos fundamentais:
- As funções contínuas preservam limites.
- O conjunto
das racionais é denso em , ou seja, em torno de qualquer ponto real há racionais arbitrariamente próximos.
Passo 2
Definimos a função diferença
Como
e
são contínuas, a diferença
também é contínua em
. Além disso, para todo
temos
Logo,
é nula em todo o conjunto denso
.
Passo 3
Seja
um ponto qualquer. Pela densidade de
, existe uma sequência
tal que
Como
é contínua, vale
Portanto,
, o que implica
.
Resposta
Para todo
temos
, ou seja,
.