Considere f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções contínuas de modo que f(x)=g(x), para todo x \in \mathbb{Q}. Demonstre que f=g.

Passo 1

O enunciado diz que f e g são funções contínuas de \mathbb{R} em \mathbb{R} tais que
f(x)=g(x)\quad\forall x\in\mathbb{Q}.
O objetivo é mostrar que, mesmo fora de \mathbb{Q}, vale f(x)=g(x). Vamos usar dois fatos fundamentais:
  1. As funções contínuas preservam limites.
  2. O conjunto \mathbb{Q} das racionais é denso em \mathbb{R}, ou seja, em torno de qualquer ponto real há racionais arbitrariamente próximos.

Passo 2

Definimos a função diferença
h(x)=f(x)-g(x).
Como f e g são contínuas, a diferença h também é contínua em \mathbb{R}. Além disso, para todo q\in\mathbb{Q} temos
h(q)=f(q)-g(q)=0.
Logo, h é nula em todo o conjunto denso \mathbb{Q}.

Passo 3

Seja x_0\in\mathbb{R} um ponto qualquer. Pela densidade de \mathbb{Q}, existe uma sequência (q_n)\subset\mathbb{Q} tal que
\lim_{n\to\infty}q_n = x_0.
Como h é contínua, vale
h(x_0) =\lim_{n\to\infty}h(q_n) =\lim_{n\to\infty}0 =0.
Portanto, h(x_0)=0, o que implica f(x_0)=g(x_0).

Resposta

Para todo x\in\mathbb{R} temos f(x)=g(x), ou seja, f=g.

Exercícios relacionados