Seja os 4 pontos dados a seguir utilizando a interpolação cúbica achar P_{3}=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+ a_{1} x+a_{0} :
a) (1 ; 1) ;(2 ;-15) ;(3 ;-47) ;(4 ;-101) ; P(1,5)=

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos
(1,1),\quad(2,-15),\quad(3,-47),\quad(4,-101)
e pede o polinômio cúbico
P_{3}(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}
que interpola esses pontos, além de calcular P_{3}(1{,}5). Vamos usar o método das diferenças divididas de Newton e depois expandir para obter os coeficientes a_{i}.

Passo 2

Montamos a tabela de diferenças divididas:
\begin{aligned} f[x_{0}]&=f(1)=1,\\\ f[x_{1}]&=f(2)=-15,\\\ f[x_{2}]&=f(3)=-47,\\\ f[x_{3}]&=f(4)=-101. \end{aligned}
Primeira ordem:
\begin{aligned} f[x_{0},x_{1}]&=\frac{-15-1}{2-1}=-16,\\\ f[x_{1},x_{2}]&=\frac{-47-(-15)}{3-2}=-32,\\\ f[x_{2},x_{3}]&=\frac{-101-(-47)}{4-3}=-54. \end{aligned}
Segunda ordem:
\begin{aligned} f[x_{0},x_{1},x_{2}]&=\frac{-32-(-16)}{3-1}=-8,\\\ f[x_{1},x_{2},x_{3}]&=\frac{-54-(-32)}{4-2}=-11. \end{aligned}
Terceira ordem:
f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}] =\frac{-11-(-8)}{4-1}=-1.

Passo 3

O polinômio na forma de Newton é
P_{3}(x) =1 +(-16)(x-1) +(-8)(x-1)(x-2) +(-1)(x-1)(x-2)(x-3).

Passo 4

Para achar a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}, expandimos cada termo. Primeiro note
(x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2,
(x-1)(x-2)(x-3)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.
Assim
\begin{aligned} P_{3}(x)&=1-16(x-1)-8(x^{2}-3x+2)\;-\;(x^{3}-6x^{2}+11x-6)\\\ &=1-16x+16-8x^{2}+24x-16 -x^{3}+6x^{2}-11x+6\\\ &=-x^{3}+(-8+6)x^{2}+(-16+24-11)x+(1+16-16+6)\\\ &=-x^{3}-2x^{2}-3x+7. \end{aligned}
Logo
a_{3}=-1,\quad a_{2}=-2,\quad a_{1}=-3,\quad a_{0}=7.

Passo 5

Para x=1{,}5, podemos usar a forma expandida:
P_{3}(1{,}5) =-(1{,}5)^{3}-2(1{,}5)^{2}-3(1{,}5)+7.
Calculando,
-(3{,}375)-2(2{,}25)-4{,}5+7 =-3{,}375-4{,}5-4{,}5+7 =-5{,}375.

Resposta

O polinômio interpolador é
P_{3}(x)=-x^{3}-2x^{2}-3x+7
e
P_{3}(1{,}5)=-5{,}375.

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