Mostre que as operações soma e produto definidas em
são associativas e comutativas e que o produto é distributivo em relação a soma.
Passo 1
Vamos provar as propriedades pedidas para números complexos. Seja
onde
. As operações em
são dadas por
Vamos usar essas definições para mostrar que soma e produto são associativos e comutativos, e que o produto distribui sobre a soma.
Passo 2
(Associatividade da soma)
Calculamos primeiro :
Calculamos primeiro
logo
Por outro lado,
e
Como a soma em
é associativa,
portanto
Passo 3
(Comutatividade da soma)
Pelo mesmo cálculo,
Pelo mesmo cálculo,
e
Como a soma em
é comutativa,
e
, segue
Passo 4
(Associatividade do produto)
Primeiro,
Primeiro,
Multiplicando esse por
,
Por outro lado,
e
Bastam apenas as propriedades associativa e comutativa em
para identificar que
Passo 5
(Comutatividade do produto)
Temos
Temos
e
Como
,
,
e
, concluímos
Passo 6
(Distributividade)
Calculamos
Calculamos
logo
Por outro lado,
Como em
valem
segue
Resposta
As operações soma e produto em
são associativas e comutativas, e o produto é distributivo em relação à soma.