Mostre que as operações soma e produto definidas em \mathbb{C} são associativas e comutativas e que o produto é distributivo em relação a soma.

Passo 1

Vamos provar as propriedades pedidas para números complexos. Seja
x = a + bi,\quad y = c + di,\quad z = e + fi,
onde a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}. As operações em \mathbb{C} são dadas por
(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i,
(a+bi)\,(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Vamos usar essas definições para mostrar que soma e produto são associativos e comutativos, e que o produto distribui sobre a soma.

Passo 2

(Associatividade da soma)
Calculamos primeiro (x+y)+z:
x+y = (a+c)+(b+d)i,
logo
(x+y)+z = \bigl((a+c)+e\bigr) + \bigl((b+d)+f\bigr)i.
Por outro lado,
y+z = (c+e)+(d+f)i,
e
x+(y+z) = \bigl(a+(c+e)\bigr) + \bigl(b+(d+f)\bigr)i.
Como a soma em \mathbb{R} é associativa,
(a+c)+e = a+(c+e),
(b+d)+f = b+(d+f),
portanto
(x+y)+z = x+(y+z).

Passo 3

(Comutatividade da soma)
Pelo mesmo cálculo,
x+y = (a+c)+(b+d)i
e
y+x = (c+a)+(d+b)i.
Como a soma em \mathbb{R} é comutativa, a+c=c+a e b+d=d+b, segue
x+y = y+x.

Passo 4

(Associatividade do produto)
Primeiro,
x\,y = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Multiplicando esse por z,
(xy)\,z = \bigl[(ac-bd)e - (ad+bc)f\bigr] + \bigl[(ac-bd)f + (ad+bc)e\bigr]i.
Por outro lado,
y\,z = (ce - df) + (cf + de)i,
e
x\,(yz) = \bigl[a(ce-df) - b(cf+de)\bigr] + \bigl[a(cf+de) + b(ce-df)\bigr]i.
Bastam apenas as propriedades associativa e comutativa em \mathbb{R} para identificar que
(xy)\,z = x\,(yz).

Passo 5

(Comutatividade do produto)
Temos
x\,y = (ac - bd) + (ad + bc)i
e
y\,x = (ca - db) + (cb + da)i.
Como ac=ca, bd=db, ad=da e bc=cb, concluímos
x\,y = y\,x.

Passo 6

(Distributividade)
Calculamos
y+z = (c+e)+(d+f)i,
logo
x\,(y+z) = \bigl[a(c+e)-b(d+f)\bigr] + \bigl[a(d+f)+b(c+e)\bigr]i.
Por outro lado,
x\,y + x\,z = \bigl[(ac-bd)+(ae-bf)\bigr] + \bigl[(ad+bc)+(af+be)\bigr]i.
Como em \mathbb{R} valem
a(c+e)=ac+ae,\quad b(d+f)=bd+bf,\quad a(d+f)=ad+af,\quad b(c+e)=bc+be,
segue
x\,(y+z) = x\,y + x\,z.

Resposta

As operações soma e produto em \mathbb{C} são associativas e comutativas, e o produto é distributivo em relação à soma.

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