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Considere o conjunto P dos paralelepípedos inscritos na esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
(a) Ache as dimensões do paralelepípedo em P tal que a soma dos comprimentos das arestas é máxima.
(b) A função objetivo do item anterior atinge um mínimo? Este valor mínimo corresponde às dimensões de um paralelepípedo?

Passo 1

O enunciado pede para, dentre todos os paralelepípedos de arestas paralelas aos eixos e inscritos na esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,
maximizar (a) a soma de todas as arestas e (b) perguntar se essa função atinge um mínimo e onde.
Conteúdo: otimização com restrição pelo método dos multiplicadores de Lagrange e análise de existência de extremos em domínios não compactos.

Passo 2

Sejam a,b,c>0 os semi-eixos do paralelepípedo, de modo que seus vértices são (\pm a,\pm b,\pm c). A condição de inscrição na esfera é
a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.
Cada aresta paralela ao eixo x tem comprimento 2a e há 4 delas; analogamente para y e z. Logo a soma total das arestas é
S=4\cdot2a+4\cdot2b+4\cdot2c=8\,(a+b+c).
Maximizar S é equivalente a maximizar
f(a,b,c)=a+b+c
sujeito a g(a,b,c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-1=0.

Passo 3

Aplicamos Lagrange: existem \lambda\) tais que \[\nabla f = \lambda\,\nabla g \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 1 = \lambda\cdot 2a,\\\\ 1 = \lambda\cdot 2b,\\\\ 1 = \lambda\cdot 2c, \end{cases}
junto com a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\]. Das três primeiras equações vem \[2\lambda a = 2\lambda b = 2\lambda c = 1 \quad\Longrightarrow\quad a=b=c.\] Substituindo em \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 dá
3a^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Assim o paralelepípedo de soma de arestas máxima é o cubo com semi-aresta 1/\sqrt{3}, ou seja arestas
2a=2b=2c=\frac{2}{\sqrt{3}}.
E a soma máxima vale
S_{\max}=8\,(a+b+c)=8\cdot3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} =8\sqrt{3}.

Passo 5

Agora, sobre o mínimo: a função f(a,b,c)=a+b+c em \{(a,b,c)\mid a,b,c>0,\;a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\} não está num conjunto compacto (os pontos com algum a=0 ficam na fronteira e são excluídos). Portanto não há garantia de existir mínimo estrito dentro de P.

Passo 6

De fato, ao deixar por exemplo b\to0^+ e c\to0^+ e manter a\to1^- para satisfazer a^{2}+b^{2}+c^{2}=1, temos
a+b+c\;\longrightarrow\;1,
logo
S=8(a+b+c)\;\longrightarrow\;8.
Mas nenhum paralelepípedo não degenerado (com b,c>0) atinge exatamente esse valor. Logo a infímum de S é 8, mas não existe mínimo na classe dos paralelepípedos propriamente ditos.

Resposta

(a) O paralelepípedo de soma de arestas máxima é o cubo de arestas
\frac{2}{\sqrt{3}}\times\frac{2}{\sqrt{3}}\times\frac{2}{\sqrt{3}},
com S_{\max}=8\sqrt{3}.
(b) Não há mínimo em P. O infímum de S é 8, atingido apenas em paralelepípedos degenerados (do tipo (2,0,0) até permutações).

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