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Considere o sólido D limitado por cima pela esfera x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 e por baixo pelo cone z^{2}=x^{2}+y^{2}, no semiplano z \geq 0. Considere a função f(x, y, z)=z-x y definida no sólido D. Determine os valores máximo e mínimo de f no sólido D. Escreva a função Lagrangiana do problema.

Passo 1

O enunciado pede os extremos de
f(x,y,z)=z - x\,y
no sólido
D=\bigl\{(x,y,z)\mid z^2\ge x^2+y^2,\;x^2+y^2+(z-1)^2\le1,\;z\ge0\bigr\},
que é limitado por cima pela esfera
g_1(x,y,z)=x^2+y^2+(z-1)^2-1=0
e por baixo pelo cone
g_2(x,y,z)=z^2 - (x^2+y^2)=0,\quad z\ge0.
Como f é contínua em D, os extremos ocorrem ou no interior (onde \nabla f=0) ou em cada fronteira.

Passo 2

Em primeiro lugar, no interior teríamos
\nabla f = (-y,\,-x,\,1)=0
que não admite solução real. Logo sobra só a fronteira, isto é a esfera ( g_1=0) com g_2\ge0 e o cone ( g_2=0) com g_1\le0.
A função Lagrangiana geral, com dois multiplicadores, é
\mathcal L(x,y,z,\lambda,\mu) = z - x\,y -\lambda\bigl(x^2+y^2+(z-1)^2-1\bigr) -\mu\bigl(z^2 - x^2 - y^2\bigr).

Passo 3

Extremos na esfera ( g_1=0, g_2\ge0) usando só \lambda:
\mathcal L_1 = z - x\,y - \lambda\bigl(x^2+y^2+(z-1)^2-1\bigr).
As condições \nabla\mathcal L_1=0 dão
-y = 2\lambda x,\quad -x = 2\lambda y,\quad 1=2\lambda(z-1),
junto com x^2+y^2+(z-1)^2=1. Daí conclui-se que as únicas soluções são
(x,y,z)=(0,0,2) e (0,0,0). Ambas satisfazem g_2\ge0.

Passo 4

Extremos no cone ( g_2=0, g_1\le0) usando só \mu:
\mathcal L_2 = z - x\,y - \mu\bigl(z^2 - x^2 - y^2\bigr).
As condições \nabla\mathcal L_2=0 e z^2=x^2+y^2 levam a duas famílias de pontos:
  1. O ápice (0,0,0).
  2. Na interseção com a esfera aparece z=1, x^2+y^2=1 e, a partir de \partial_\theta f=0, obtém-se xy = \pm \tfrac12,ou seja os pontos \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},\pm\tfrac1{\sqrt2},1\bigr).

Passo 5

Avaliação de f nos candidatos:
  • Em (0,0,2): f=2-0=2.
  • No ápice (0,0,0): f=0-0=0.
  • Nos pontos da interseção com xy=+\tfrac12: f=1 - \tfrac12=\tfrac12.
  • Nos pontos da interseção com xy=-\tfrac12: f=1 - \bigl(-\tfrac12\bigr)=\tfrac32.
Comparando, o valor máximo de f em D é
\max_D f = 2
ocorrido em (0,0,2), e o mínimo é
\min_D f = 0
ocorrido em (0,0,0).

Resposta

Máximo de f: 2.
Mínimo de f: 0.
Função Lagrangiana geral:
\mathcal L(x,y,z,\lambda,\mu) = z - x\,y -\lambda\bigl(x^2+y^2+(z-1)^2-1\bigr) -\mu\bigl(z^2 - x^2 - y^2\bigr).

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