Um container de $480 \mathrm{~m}^{3}$ em forma de paralelepípedo deve ser construido com dois tipos de materiais diferentes. O custo do material da base e da tampa é de 5 reais por metro quadrado. O custo do material utilizado nas paredes laterais é de 3 reais por metro quadrado. Achar as dimensões do container mais barato. Escreva a função Lagrangiana do problema.

O enunciado pede o container em forma de paralelepípedo de volume fixo

480

m³ de custo mínimo, usando dois materiais: base e tampa custam

5

R$/m² e as paredes laterais custam

3

R$/m². Vamos usar otimização com multiplicador de Lagrange.

Definimos as variáveis

\displaystyle x

\displaystyle y

\displaystyle z

como as dimensões do paralelepípedo (base

x\times y

e altura

z

). A restrição de volume é

g(x,y,z)=xyz-480=0.

Calculamos o custo das superfícies:
– Base e tampa juntas têm área

2\,xy

e custo unitário

5

, logo

C_{\text{base+tampa}}=5\,(2\,xy)=10\,xy.

– Paredes laterais: duas faces

x\times z

e duas faces

y\times z

, área total

2xz+2yz

com custo

3

, logo

C_{\text{paredes}}=3\,(2xz+2yz)=6\,xz+6\,yz.

A função custo total a minimizar é

C(x,y,z)=10\,xy+6\,xz+6\,yz.

Montamos a Lagrangiana com o multiplicador

\lambda

\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = C(x,y,z) + \lambda\,(xyz-480).

\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) =10\,xy \;+\;6\,xz\;+\;6\,yz\;+\;\lambda\,(xyz-480).

Exercícios relacionados

f(x, y)=3 x^{1 / 3} y^{2 / 3}

x>0

y>0

f

f

(8,1, f(8,1))

\mathcal{C}

f

f(x, y)=6

\mathcal{C}

(8,1)

u(t)=(x(t), y(t))

g(t)=f(u(t))

u(7)=(8,1)

u^{\prime}(7)=(-5,13)

g^{\prime}(7)

f

(8,1)

\vec{v}=(-5,13)

f

(8,1)

\vec{u}=\vec{v} /\|\vec{v}\|)