Considere o conjunto dos polinômios de grau 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que e são bases de .
(b) Qual é a dimensão de ?
(c) Quais são as coordenadas do vetor com relação à base ?
(d) Encontre as matrizes de mudança de base e .
(e) Determine as coordenadas do vetor em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espaços de polinômios de grau 2, que é o conjunto . A gente vai precisar entender conceitos como base de um espaço vetorial, dimensão, coordenadas em relação a uma base e mudanças de base. Vou te guiar passo a passo para facilitar a compreensão!
Passo 2
Parte (a): Mostrando que e são bases de .
Primeiro, uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer dois critérios: os vetores (neste caso, polinômios) devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço.
Vamos verificar para :
Independência Linear: Suponha que para todos os . Isso implica que , mostrando que os vetores são linearmente independentes.
Geração do Espaço: Qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como , que é uma combinação linear de .
Agora, para :
Independência Linear: Precisamos verificar se implica . Resolvendo, vemos que a única solução é , então são independentes.
Geração do Espaço: Qualquer polinômio pode ser obtido combinando , e .
Portanto, ambas as coleções são bases de .
Passo 3
Parte (b): Determinando a dimensão de .
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como vimos na parte (a), tanto quanto têm 3 elementos e são bases. Logo, a dimensão de é 3.
Passo 4
Parte (c): Encontrando as coordenadas do vetor em relação à base .
Para encontrar as coordenadas de na base , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base:
Comparando com , vemos que:
Então, as coordenadas de em relação à base são .
Passo 5
Parte (d): Encontrando as matrizes de mudança de base e .
Para construir a matriz de mudança de base de para , precisamos expressar cada vetor de em termos de .
:
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⇒
⇒
Logo, a matriz é:
Para encontrar MB^B^prime, que é a matriz inversa de MB^prime^B, calculamos: