Considere P2(R) o conjunto dos polinômios de grau 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que B=1, x, x^2 e B^prime=1+x, x+x^2, 1+x^2 são bases de P2(R).
(b) Qual é a dimensão de P2(R) ?
(c) Quais são as coordenadas do vetor p(x)=1+2 x-x^2 com relação à base B ?
(d) Encontre as matrizes de mudança de base MB^prime^B e MB^B^prime.
(e) Determine as coordenadas do vetor p(x)=1+2 x-x^2 em relação à base B^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espaços de polinômios de grau 2, que é o conjunto P2(R). A gente vai precisar entender conceitos como base de um espaço vetorial, dimensão, coordenadas em relação a uma base e mudanças de base. Vou te guiar passo a passo para facilitar a compreensão!

Passo 2

Parte (a): Mostrando que B e B^prime são bases de P2(R).
Primeiro, uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer dois critérios: os vetores (neste caso, polinômios) devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço.
Vamos verificar para B = 1, x, x^2:
  1. Independência Linear: Suponha que a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2 = 0 para todos os x. Isso implica que a = b = c = 0, mostrando que os vetores são linearmente independentes.
  2. Geração do Espaço: Qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como a + b x + c x^2, que é uma combinação linear de 1, x, x^2.
Agora, para B^prime = 1+x, x+x^2, 1+x^2:
  1. Independência Linear: Precisamos verificar se k1(1+x) + k2(x+x^2) + k3(1+x^2) = 0 implica k1 = k2 = k3 = 0. Resolvendo, vemos que a única solução é k1 = k2 = k3 = 0, então são independentes.
  2. Geração do Espaço: Qualquer polinômio a + b x + c x^2 pode ser obtido combinando 1+x, x+x^2 e 1+x^2.
Portanto, ambas as coleções são bases de P2(R).

Passo 3

Parte (b): Determinando a dimensão de P2(R).
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como vimos na parte (a), tanto B quanto B^prime têm 3 elementos e são bases. Logo, a dimensão de P2(R) é 3.

Passo 4

Parte (c): Encontrando as coordenadas do vetor p(x) = 1 + 2x - x^2 em relação à base B.
Para encontrar as coordenadas de p(x) na base B = 1, x, x^2, precisamos expressar p(x) como uma combinação linear dos vetores da base:
p(x) = a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2
Comparando com p(x) = 1 + 2x - x^2, vemos que:
a = 1, b = 2, c = -1
Então, as coordenadas de p(x) em relação à base B são (1, 2, -1).

Passo 5

Parte (d): Encontrando as matrizes de mudança de base MB^prime^B e MB^B^prime.
Para construir a matriz de mudança de base de B^prime para B, precisamos expressar cada vetor de B^prime em termos de B.
B^prime = 1+x, x+x^2, 1+x^2:
  1. 1 + x = 1 cdot 1 + 1 cdot x + 0 cdot x^2 (1, 1, 0)
  2. x + x^2 = 0 cdot 1 + 1 cdot x + 1 cdot x^2 (0, 1, 1)
  3. 1 + x^2 = 1 cdot 1 + 0 cdot x + 1 cdot x^2 (1, 0, 1)
Logo, a matriz MB^prime^B é:
MB^prime^B = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
Para encontrar MB^B^prime, que é a matriz inversa de MB^prime^B, calculamos:
MB^B^prime = ( MB^prime^B )^-1 = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1

Passo 6

Parte (e): Determinando as coordenadas do vetor p(x) = 1 + 2x - x^2 em relação à base B^prime.
Agora, para encontrar as coordenadas de p(x) em B^prime, usamos a matriz de mudança de base MB^B^prime:
1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 1 2 -1 = 1 cdot 1 + (-1) cdot 2 + 1 cdot (-1) -1 cdot 1 + 1 cdot 2 + 0 cdot (-1) -1 cdot 1 + 0 cdot 2 + 1 cdot (-1) = 1 - 2 -1 -1 +2 -1 -1 = -2 1 -2
Portanto, as coordenadas de p(x) em relação à base B^prime são (-2, 1, -2).

Resposta

As coordenadas do vetor p(x) = 1 + 2x - x^2 em relação à base B^prime são (-2, 1, -2).

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