Seja v=(3,1,5) in R^3 e considere as bases
B=(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0) e B^prime=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)
(a) Encontre as coordenadas de v em relação às bases B e B^prime.
(b) Determine a matriz de mudança de base MB^prime^B de B para B^prime.
(c) Use suas respostas [v]B e MB^prime^B dos itens (a) e (b), respectivamente, para calcular [v]B^prime. Compare com o resultado [v]B^prime obtido no item (a).

Passo 1

O enunciado pede para representar o vetor v=(3,1,5) em duas bases distintas de R^3, calcular a matriz de mudança de base de B para B' e verificar que multiplicando essa matriz pelas coordenadas de v em B obtemos as coordenadas de v em B'.

Passo 2

Para achar [v]B escrevemos
v = c1(0,1,0) + c2(0,0,1) + c3(1,0,0) = (c3,;c1,;c2)
e comparamos com (3,1,5). Logo
c3 = 3, c1 = 1, c2 = 5 Longrightarrow [v]B = (c1,c2,c3) = (1,5,3)

Passo 3

Para achar [v]B' escrevemos
v = a1(1,1,0) + a2(0,1,1) + a3(1,0,1) = (a1+a3,;a1+a2,;a2+a3)
e comparamos com (3,1,5), obtendo o sistema
a1 + a3 = 3, a1 + a2 = 1, a2 + a3 = 5
Resolvendo, vem
a2 = tfrac32, a1 = 1 - a2 = -tfrac12, a3 = 3 - a1 = tfrac72,
portanto
[v]B' = l(a1,a2,a3r) = l(-tfrac12,tfrac32,tfrac72r)

Passo 4

A matriz de mudança de base MB'^B tem colunas iguais às coordenadas de cada vetor de B em B'. Para B=b1,b2,b3 com
b1=(0,1,0), b2=(0,0,1), b3=(1,0,0),
já resolvemos sistemas análogos ao do passo 3 e encontramos
[b1]B' = l(tfrac12,tfrac12,-tfrac12r), [b2]B' = l(-tfrac12,tfrac12,tfrac12r), [b3]B' = l(tfrac12,-tfrac12,tfrac12r)
Logo
MB'^B = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 -tfrac12& tfrac12 & tfrac12

Passo 5

Multiplicando MB'^B por [v]B = 1 5 3 temos
tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 153 = tfrac1-5+32[6pt] tfrac1+5-32[6pt] tfrac-1+5+32 = -tfrac12[3pt]tfrac32[3pt]tfrac72 ,
que coincide com [v]B' do passo 3.]

Resposta

(a) [v]B = (1,5,3) e [v]B' = l(-tfrac12,tfrac32,tfrac72r).
(b)
MB'^B = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 -tfrac12& tfrac12 & tfrac12
(c)
MB'^B,[v]B =l(-tfrac12,tfrac32,tfrac72r)
confirma [v]B' do item (a).

Exercícios relacionados