Sejam B e C bases de R^2. Se C=(1,2),(2,3) e a matriz de mudança de base de B para C é
MC^B=[cc 1 & -1 -1 & 2 ]
encontre B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases no espaço R^2: a base C, que é (1,2), (2,3), e a base B que a gente precisa encontrar. Além disso, foi dada a matriz de mudança de base de B para C, que é:
MC^B = 1 & -1 -1 & 2
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona a mudança de base e como aplicar a matriz de mudança para encontrar os vetores da base B.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz nos ajuda a converter coordenadas de uma base para outra. No caso, MC^B converte coordenadas da base B para a base C.
Isso significa que, se tivermos um vetor na base B, multiplicando esse vetor pelas colunas de MC^B, a gente consegue expressar esse vetor na base C.

Passo 3

Vamos chamar os vetores da base B de b1 e b2 . A matriz MC^B tem suas colunas representando as coordenadas desses vetores na base C. Ou seja:
b1 = 1 cdot c1 + (-1) cdot c2
b2 = (-1) cdot c1 + 2 cdot c2
Onde c1 = (1,2) e c2 = (2,3) .

Passo 4

Vamos calcular b1 :
b1 = 1 cdot (1,2) + (-1) cdot (2,3) = (1,2) + (-2,-3) = (1-2, 2-3) = (-1, -1)

Passo 5

Agora, vamos calcular b2 :
b2 = (-1) cdot (1,2) + 2 cdot (2,3) = (-1,-2) + (4,6) = (-1+4, -2+6) = (3, 4)

Resposta

A base B é , (-1, -1), ,(3, 4) ,.

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