Considere P3=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3: ai in R o conjunto dos polinômios de grau <= 3, mais o polinômio nulo de grau 3 . Sabemos que (P3,+, cdot) é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais:
Quem é o conjunto gerador de P3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para identificar qual conjunto de polinômios gera todo o espaço dos polinômios de grau até 3, ou seja, o conjunto P3. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente espaços vetoriais e conjuntos geradores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto gerar um espaço vetorial e como identificar esses conjuntos em P3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto gerador. Em álgebra linear, um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) gera um espaço vetorial se qualquer elemento desse espaço puder ser escrito como uma combinação linear desses vetores. No contexto de P3, isso significa que qualquer polinômio de grau até 3 pode ser obtido combinando certos polinômios básicos.

Passo 3

Agora, vamos pensar nos polinômios mais simples que podemos usar para construir qualquer polinômio de grau até 3. Esses polinômios básicos são:
  • 1 (o polinômio constante)
  • x (polinômio de grau 1)
  • x^2 (polinômio de grau 2)
  • x^3 (polinômio de grau 3)
Esses quatro polinômios são fundamentais porque qualquer polinômio de grau até 3 pode ser construído combinando esses termos com coeficientes reais.

Passo 4

Vamos ver como isso funciona na prática. Suponha que queremos escrever um polinômio qualquer p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3. Esse polinômio pode ser decomposto como:
p(x) = a0(1) + a1(x) + a2(x^2) + a3(x^3)
Aqui, estamos usando os polinômios 1, x, x^2 e x^3 com coeficientes a0, a1, a2 e a3 respectivamente para construir p(x).

Passo 5

Como qualquer polinômio em P3 pode ser escrito dessa maneira, isso mostra que o conjunto 1, x, x^2, x^3 gera todo o espaço P3. Ou seja, nenhum polinômio em P3 fica de fora desse conjunto gerador.

Resposta

O conjunto gerador de P3 é 1,,x,,x^2,,x^3.

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