Considere
o conjunto dos polinômios de grau
, mais o polinômio nulo de grau 3 . Sabemos que
é um espaço vetorial sobre
com as operações usuais:
Quem é o conjunto gerador de
?
Quem é o conjunto gerador de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para identificar qual conjunto de polinômios gera todo o espaço dos polinômios de grau até 3, ou seja, o conjunto
. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente espaços vetoriais e conjuntos geradores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto gerar um espaço vetorial e como identificar esses conjuntos em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto gerador. Em álgebra linear, um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) gera um espaço vetorial se qualquer elemento desse espaço puder ser escrito como uma combinação linear desses vetores. No contexto de
, isso significa que qualquer polinômio de grau até 3 pode ser obtido combinando certos polinômios básicos.
Passo 3
Agora, vamos pensar nos polinômios mais simples que podemos usar para construir qualquer polinômio de grau até 3. Esses polinômios básicos são:
-
(o polinômio constante) -
(polinômio de grau 1) -
(polinômio de grau 2) -
(polinômio de grau 3)
Esses quatro polinômios são fundamentais porque qualquer polinômio de grau até 3 pode ser construído combinando esses termos com coeficientes reais.
Passo 4
Vamos ver como isso funciona na prática. Suponha que queremos escrever um polinômio qualquer
. Esse polinômio pode ser decomposto como:
Aqui, estamos usando os polinômios
,
,
e
com coeficientes
,
,
e
respectivamente para construir
.
Passo 5
Como qualquer polinômio em
pode ser escrito dessa maneira, isso mostra que o conjunto
gera todo o espaço
. Ou seja, nenhum polinômio em
fica de fora desse conjunto gerador.
Resposta
O conjunto gerador de
é
.