Seja (V,+, cdot) um espaço vetorial sobre R. Responder verdadeiro (v) ou falso (f), justificando suas respostas:
Se S=v1, v2 é um conjunto de vetores LI de V e v3 notin[S], então v1, v2, v3 é LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais, que é um conceito de Álgebra Linear. A pergunta é se, dado um conjunto de dois vetores S = v1, v2 que são linearmente independentes (LI) e um terceiro vetor v3 que não está no conjunto gerado por S , ou seja, v3 notin [S] , então o conjunto v1, v2, v3 também é LI. Para resolver, a gente vai precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como a inclusão de um novo vetor que não está no span afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a1v1 + a2v2 + dots + anvn = 0 implica que a1 = a2 = dots = an = 0 .

Passo 3

No nosso caso, temos S = v1, v2 sendo LI, então sabemos que nenhuma combinação não trivial de v1 e v2 dá o vetor zero. Agora, queremos ver se adicionando v3 que não está no span de S , ou seja, v3 não pode ser escrito como v3 = b1v1 + b2v2 , conseguimos manter a independência linear.

Passo 4

Vamos supor que v1, v2, v3 não seja LI. Isso significaria que existe uma combinação linear desses vetores que resulta em zero, onde pelo menos um dos coeficientes não é zero:
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
Como v3 não está no span de S , o único jeito disso acontecer é se a3 = 0 . Mas aí teríamos a1v1 + a2v2 = 0 , e já sabemos que S é LI, então a1 = a2 = 0 . Portanto, a única solução é a1 = a2 = a3 = 0 , o que confirma que v1, v2, v3 é LI.

Resposta

Verdadeiro (V). O conjunto v1, v2, v3 é linearmente independente porque v3 não está no span de v1, v2 , garantindo que nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero.

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