Seja
um espaço vetorial sobre
. Responder verdadeiro (v) ou falso
, justificando suas respostas:
Se
é um conjunto de vetores LI de
e
, então
é LI.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais, que é um conceito de Álgebra Linear. A pergunta é se, dado um conjunto de dois vetores
que são linearmente independentes (LI) e um terceiro vetor
que não está no conjunto gerado por
, ou seja,
, então o conjunto
também é LI. Para resolver, a gente vai precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como a inclusão de um novo vetor que não está no span afeta isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
implica que
.
Passo 3
No nosso caso, temos
sendo LI, então sabemos que nenhuma combinação não trivial de
e
dá o vetor zero. Agora, queremos ver se adicionando
que não está no span de
, ou seja,
não pode ser escrito como
, conseguimos manter a independência linear.
Passo 4
Vamos supor que
não seja LI. Isso significaria que existe uma combinação linear desses vetores que resulta em zero, onde pelo menos um dos coeficientes não é zero:
Como
não está no span de
, o único jeito disso acontecer é se
. Mas aí teríamos
, e já sabemos que
é LI, então
. Portanto, a única solução é
, o que confirma que
é LI.
Resposta
Verdadeiro (V). O conjunto
é linearmente independente porque
não está no span de
, garantindo que nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero.