Considere P3=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3: ai in R o conjunto dos polinômios de grau <= 3, mais o polinômio nulo de grau 3 . Sabemos que (P3,+, cdot) é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais:
O conjunto S é LI?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está dentro do conteúdo de Espaços Vetoriais e Independência Linear. Basicamente, temos um conjunto de polinômios de grau até 3, chamado P3, e queremos verificar se um certo conjunto S dentro desse espaço é linearmente independente (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como aplicar isso aos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou, nesse caso, polinômios) é linearmente independente se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, a única maneira de ter uma combinação linear que dê o polinômio nulo é se todos os coeficientes fossem zero.

Passo 3

Vamos supor que o conjunto S é formado pelos polinômios básicos: S = 1, x, x^2, x^3. Esses são os polinômios de grau 0, 1, 2 e 3, respectivamente, e costumam ser usados como base padrão para P3.

Passo 4

Agora, queremos verificar se S é linearmente independente. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
c0 cdot 1 + c1 cdot x + c2 cdot x^2 + c3 cdot x^3 = 0
Onde c0, c1, c2, c3 são números reais.

Passo 5

Para que essa combinação seja igual ao polinômio nulo, todos os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Então, igualando os coeficientes:
c0 = 0 c1 = 0 c2 = 0 c3 = 0

Passo 6

A única solução para essa equação é c0 = c1 = c2 = c3 = 0. Isso significa que a única combinação linear que resulta no polinômio nulo é aquela onde todos os coeficientes são zero.

Passo 7

Como a única solução é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero), podemos concluir que o conjunto S = 1, x, x^2, x^3 é linearmente independente.

Resposta

O conjunto S = 1, x, x^2, x^3 é linearmente independente.

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