Considere o conjunto dos polinômios de grau , mais o polinômio nulo de grau 3 . Sabemos que é um espaço vetorial sobre com as operações usuais:
O conjunto é LI?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está dentro do conteúdo de Espaços Vetoriais e Independência Linear. Basicamente, temos um conjunto de polinômios de grau até 3, chamado , e queremos verificar se um certo conjunto dentro desse espaço é linearmente independente (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como aplicar isso aos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou, nesse caso, polinômios) é linearmente independente se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, a única maneira de ter uma combinação linear que dê o polinômio nulo é se todos os coeficientes fossem zero.
Passo 3
Vamos supor que o conjunto é formado pelos polinômios básicos: . Esses são os polinômios de grau 0, 1, 2 e 3, respectivamente, e costumam ser usados como base padrão para .
Passo 4
Agora, queremos verificar se é linearmente independente. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Onde são números reais.
Passo 5
Para que essa combinação seja igual ao polinômio nulo, todos os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, igualando os coeficientes:
Passo 6
A única solução para essa equação é c0 = c1 = c2 = c3 = 0. Isso significa que a única combinação linear que resulta no polinômio nulo é aquela onde todos os coeficientes são zero.
Passo 7
Como a única solução é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero), podemos concluir que o conjunto S = 1, x, x^2, x^3 é linearmente independente.
Resposta
O conjunto S = 1, x, x^2, x^3 é linearmente independente.