Considere P3=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3: ai in R o conjunto dos polinômios de grau <= 3, mais o polinômio nulo de grau 3 . Sabemos que (P3,+, cdot) é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais:
Seja S=p1(x)=(1-x)^3, p2(x)=(1-x)^2, p3(x)=(1-x), p4(x)=1 subset P3. Quem é [S] ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com um conjunto de polinômios de grau até 3, chamado P3. A questão nos dá um conjunto S com quatro polinômios: p1(x) = (1 - x)^3, p2(x) = (1 - x)^2, p3(x) = (1 - x) e p4(x) = 1. A pergunta é: “Quem é [S]?”.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de espaços vetoriais e como funcionam os subespaços gerados por um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso).

Passo 2

Primeiro, [S] representa o subespaço gerado pelo conjunto S. Isso quer dizer que [S] é formado por todas as combinações lineares possíveis dos polinômios em S. Em outras palavras, qualquer polinômio que você puder formar somando e multiplicando os polinômios de S por números reais estará dentro de [S].

Passo 3

Agora, vamos analisar os polinômios em S:
  • p1(x) = (1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
  • p2(x) = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
  • p3(x) = (1 - x) = 1 - x
  • p4(x) = 1
Observamos que cada polinômio tem um grau diferente: de 0 a 3. Isso é importante porque polinômios de diferentes graus são linearmente independentes. Ou seja, nenhum desses polinômios pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 4

Como temos quatro polinômios em S que são linearmente independentes, e P3 também tem dimensão 4 (já que qualquer polinômio de grau ≤ 3 pode ser descrito por quatro coeficientes), isso significa que S forma uma base para P3.

Resposta

Logo, [S] é todo o espaço P3. Ou seja, [S] = P3.

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