Considere
o conjunto dos polinômios de grau
, mais o polinômio nulo de grau 3 . Sabemos que
é um espaço vetorial sobre
com as operações usuais:
Seja
,
. Quem é
?
Seja
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com um conjunto de polinômios de grau até 3, chamado
. A questão nos dá um conjunto
com quatro polinômios:
,
,
e
. A pergunta é: “Quem é
?”.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de espaços vetoriais e como funcionam os subespaços gerados por um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso).
Passo 2
Primeiro,
representa o subespaço gerado pelo conjunto
. Isso quer dizer que
é formado por todas as combinações lineares possíveis dos polinômios em
. Em outras palavras, qualquer polinômio que você puder formar somando e multiplicando os polinômios de
por números reais estará dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os polinômios em
:
Observamos que cada polinômio tem um grau diferente: de 0 a 3. Isso é importante porque polinômios de diferentes graus são linearmente independentes. Ou seja, nenhum desses polinômios pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 4
Como temos quatro polinômios em
que são linearmente independentes, e
também tem dimensão 4 (já que qualquer polinômio de grau ≤ 3 pode ser descrito por quatro coeficientes), isso significa que
forma uma base para
.
Resposta
Logo,
é todo o espaço
. Ou seja,
.